在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $A,B,C$ 是平面上不同的三点，并且都在圆 $x^2+y^2=1$ 上，若存在实数 $\lambda,\mu$ 使得 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，则 $\left(\lambda -3\right)^2+\mu^2$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(2,+\infty)$
【解析】
设 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=m$，则考虑到 $A,B,C$ 是不同的三点，且均在单位圆上，于是 $m$ 的取值范围为 $(-1,1)$．由已知有$$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC}=\left(\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}\right)\cdot\left(\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}\right),$$从而$$1=\lambda^2+\mu^2+2m\lambda\mu,$$进而可得当 $\lambda\mu>0$ 时，有$$1>\lambda^2+\mu^2-2\lambda\mu,$$从而$$-1<\lambda-\mu<1.$$而类似的，当 $\lambda\mu<0$ 时，有$$1>\lambda^2+\mu^2+2\lambda\mu,$$从而$$-1<\lambda+\mu<1.$$
于是将 $y=\left(\lambda-3\right)^2+\mu^2$ 视为可行域内的点 $\left(\lambda,\mu\right)$ 到点 $(3,0)$ 的距离之平方，可得该值在 $(2,+\infty)$ 内（注意：上图中的阴影区域并不是可行域）．
当 $\left(\lambda,\mu\right)\to\left(2,-1\right)$ 时，$y\to 2$；当 $\lambda\to +\infty$ 而 $\mu=1-\lambda$ 时，$y\to +\infty$．
因此，所求的取值范围是 $(2,+\infty)$．
于是将 $y=\left(\lambda-3\right)^2+\mu^2$ 视为可行域内的点 $\left(\lambda,\mu\right)$ 到点 $(3,0)$ 的距离之平方，可得该值在 $(2,+\infty)$ 内（注意：上图中的阴影区域并不是可行域）．当 $\left(\lambda,\mu\right)\to\left(2,-1\right)$ 时，$y\to 2$；当 $\lambda\to +\infty$ 而 $\mu=1-\lambda$ 时，$y\to +\infty$．
因此，所求的取值范围是 $(2,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
