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设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，$a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边，满足 $b^2-2b+c^2=0$，则 $\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {AO}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
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    向量
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    向量中的常用知识
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    三角形外心的向量表达
【答案】
$\left[-\dfrac 14,2\right)$
【解析】
因为三角形的外心是三边中垂线的交点，所以有$$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow {AB}=\dfrac 12c^2,\overrightarrow {AO}\cdot\overrightarrow {AC}=\dfrac 12b^2,$$于是所求数量积可以转化为$$\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {AO}=(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB})\cdot\overrightarrow {AO}=\dfrac 12b^2-\dfrac 12c^2.$$由题意知 $c^2=2b-b^2>0$，所以 $b\in(0,2)$，代入上式得$$\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {AO}=\dfrac 12(b^2-2b+b^2)=\left(b-\dfrac 12\right)^2-\dfrac 14,$$因此所求的取值范围是 $\left[-\dfrac 14,2\right)$．
题目 答案 解析 备注
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