已知 $ABCD-EFGH$ 是棱长为 $6$ 的正方体，边长为 $4$ 的等边 $\triangle XYZ$ 在面 $DCGH$ 内运动，且始终保持 $YZ\parallel GH$，若 $M,N$ 分别是 $AX,BY$ 的中点，则 $MN=$ ．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\sqrt{19}$
【解析】
根据题意，有\[2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{XY},\]于是\[\begin{split} 4MN^2&=AB^2+XY^2+2\cdot \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{XY}\\
&=6^2+4^2+2\cdot 6\cdot 4\cdot \cos 60^\circ\\
&=76,\end{split}\]从而 $MN=\sqrt{19}$．
&=6^2+4^2+2\cdot 6\cdot 4\cdot \cos 60^\circ\\
&=76,\end{split}\]从而 $MN=\sqrt{19}$．
题目
答案
解析
备注
