在面积为 $2$ 的平行四边形 $ABCD$ 中，点 $P$ 为直线 $AD$ 上的动点，则 $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+BC^2$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt3$
【解析】
如图，设 $M$ 为 $BC$ 的中点．
根据题意，有\[\begin{split} \overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+BC^2&=PM^2-\dfrac 14BC^2+BC^2\\
&=PM^2+\dfrac 34BC^2\\
&\geqslant \sqrt 3\cdot PM\cdot BC\\
&\geqslant \sqrt 3\cdot 2S_{\triangle PBC}\\
&=2\sqrt 3,\end{split}\]等号当 $PM=\dfrac{\sqrt 3}2BC$ 且 $PM\perp BC$ 时取得．因此所求的最小值为 $2\sqrt 3$．
根据题意，有\[\begin{split} \overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+BC^2&=PM^2-\dfrac 14BC^2+BC^2\\&=PM^2+\dfrac 34BC^2\\
&\geqslant \sqrt 3\cdot PM\cdot BC\\
&\geqslant \sqrt 3\cdot 2S_{\triangle PBC}\\
&=2\sqrt 3,\end{split}\]等号当 $PM=\dfrac{\sqrt 3}2BC$ 且 $PM\perp BC$ 时取得．因此所求的最小值为 $2\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
