查看数据源：59e6b010c3f07000093ae2c1
在 $\triangle ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 的中点，$BM=2$，$AM=AB-AC$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    三角
    >
    解三角形
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量中的常用知识
    >
    平行四边形的性质
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    余弦定理
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    三角形面积公式
【答案】
$2\sqrt 3$
【解析】
由中线长定理可知$$AC^2+AB^2=2(AM^2+MB^2),$$整理可得$$b^2+c^2=4bc-8,$$又由余弦定理有$$16=a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=4bc-8-2bc\cos A,$$整理得\[bc=\dfrac{12}{2-\cos A},0<A<\dfrac{\pi}{2},\]于是$$S_{\Delta ABC}=\dfrac12bc\sin A=\dfrac{6\sin A}{2-\cos A}\leqslant 2\sqrt3,$$当且仅当 $A=\dfrac{\pi}{3}$ 时取得最大值．
题目 答案 解析 备注
0.182308s