因为 $ABCD$ 为凸四边形，所以 $AC$ 与 $BD$ 交于四边形内一点，记为 $M$，利用“向量的换底公式”统一起点为 $M$，得$$\begin{split} \overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {CD}=&(\overrightarrow {MB}-\overrightarrow {MA})\cdot(\overrightarrow {MD}-\overrightarrow {MC})\\=&\overrightarrow {MB}\cdot\overrightarrow {MD}+\overrightarrow {MA}\cdot\overrightarrow {MC}-\overrightarrow {MB}\cdot\overrightarrow {MC}-\overrightarrow {MA}\cdot\overrightarrow {MD}.\end{split} $$设 $\overrightarrow {AM}=\lambda\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BM}=\mu\overrightarrow {BD}$，则 $\lambda,\mu\in(0,1)$，且$$\begin{split} \overrightarrow {MA}=&-\lambda\overrightarrow{AC},\overrightarrow {MC}=(1-\lambda)\overrightarrow {AC},\\\overrightarrow {MB}=&-\mu\overrightarrow {BD},\overrightarrow {MD}=(1-\mu)\overrightarrow {BD},\end{split} $$又因为$$\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {AC}=\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow {BD}=4,\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0,$$所以有$$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {CD}=-4\mu(1-\mu)-4\lambda(1-\lambda)\in[-2,0),$$当且仅当 $\lambda=\mu=\dfrac 12$ 时，$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow{CD}$ 取到最小值 $-2$．