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如图，圆 $O$ 的半径为 $1$，$OA=\dfrac 12$．设 $B,C$ 是圆 $O$ 上任意两点，则 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    冻结变量法
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
【答案】
$\left[-\dfrac 18,3\right]$
【解析】
注意到 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$，因此选择以 $C$ 为起点进行研究．此时 $A,B$ 分别在半径为 $\dfrac 12,1$ 的圆上运动．先固定 $\overrightarrow{CB}$．如图，设 $A,O$ 在 $CB$ 上的投影分别为 $H,M$，以 $O$ 为圆心，$\dfrac 12$ 为半径的圆在 $CB$ 上的投影为线段 $PQ$，则$$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{CB}=\left(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MH}\right)\cdot \overrightarrow{CB}=\dfrac 12 CB^2+\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{CB}.$$考虑到 $H$ 在线段 $PQ$ 上，于是 $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ 的最大值为$$\dfrac 12CB^2+\dfrac 12CB,$$最小值为$$\dfrac 12CB^2-\dfrac 12CB.$$接下来放开 $\overrightarrow{CB}$，有 $0\leqslant CB\leqslant 2$，于是 $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ 的最大值为 $3$，最小值为 $-\dfrac 18$．
题目 答案 解析 备注
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