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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15238 5c6e3b95210b281db9f4ca3f 高中 解答题 自招竞赛 假设 ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-11=0$ 的根是 $a$，$b$，$c$，${{x}^{3}}+r{{x}^{2}}+sx+t=0$ 的根是 $a+b$，$b+c$，$c+a$，求 $t$． 2022-04-17 19:53:11
15236 5c6e3bea210b281db9f4ca60 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 是方程 ${{z}^{6}}+{{z}^{4}}+{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+1=0$ 的有正虚部的那些根的乘积，并设 $P=r\left( \cos \theta {}^\circ +\text{i}\sin \theta {}^\circ \right)$，这里 $0<r$，$0\leqslant \theta <360{}^\circ $．求 $\theta $． 2022-04-17 19:52:11
15234 5c6f6323210b280151d749d0 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{35}{\sin 5k=\tan \frac{m}{n}}$，这里角的单位为度，$m$，$n$ 为互素的正整数且满足 $\frac{m}{n}<90$．求 $m+n$． 2022-04-17 19:51:11
15221 5c74ddab210b284290fc23a9 高中 解答题 自招竞赛 设方程 ${{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x=2005$ 的所有非实根的积为 $P$，求 $\left[ P \right]$（$\left[ P \right]$ 表示小于或等于 $P$ 的最大正整数）。 2022-04-17 19:45:11
15220 5c74ea49210b28428f14cc38 高中 解答题 自招竞赛 试求满足 ${{\log }_{a}}b+6{{\log }_{b}}a=5$，其中 $2\leqslant a\leqslant 2005$，$2\leqslant b\leqslant 2005$ 的有序整数 $\left( a ,b \right)$ 对的个数。 2022-04-17 19:44:11
15219 5c74fe6d210b28428f14cc78 高中 解答题 自招竞赛 集合 $A$ 是 $\left\{ 1, 2 ,\ldots ,100 \right\}$ 的一个 $10$ 元子集，定义 $S$ 为 $A$ 中所有元素之和，试求出 $S$ 的所有不同可能值的个数。 2022-04-17 19:44:11
15217 5c75f9e1210b284290fc24b3 高中 解答题 自招竞赛 两个多项式 ${{Q}_{1}}\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( k-29 \right)x-k$ 和 ${{Q}_{2}}\left( x \right)=2{{x}^{2}}+\left( 2k-43 \right)x+k$ 都是某个三次多项式 $P\left( x \right)$ 的因式，求 $k$ 的最大值。 2022-04-17 19:43:11
15204 5c774cc7210b28428f14cec1 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $m\geqslant 3$，集合 $S=\left\{ 3, 4 ,5 ,\ldots, m \right\}$ 满足以下条件：把 $S$ 任意划分成两个子集，至少有一个子集包含整数 $a$，$b$，$c$（不一定相异）使得 $ab=c$ 。求 $m$ 的最小值（集合 $S$ 的一个划分是指把 $S$ 分为两个集合 $A$ 和 $B$，使得 $A\bigcap B=\varnothing $，$A\bigcup B=S$） 2022-04-17 19:34:11
15203 5c8efe92210b286d0745417b 高中 解答题 自招竞赛 复数 $z$ 和 $w$ 满足 ${{z}^{13}}=w,{{w}^{11}}=z$，$z$ 的虚部为 $\sin \frac{m\pi }{n}$，其中 $m,n$ 为互质正整数且 $m<n$ 。求 $n$ 。 2022-04-17 19:33:11
15202 5c8efeac210b286d125ef332 高中 解答题 自招竞赛 正实数 $x,y,z$ 满足 $\text{2}{{\log }_{x}}\left( 2y \right)=2{{\log }_{2x}}\left( 4z \right)=2{{\log }_{2{{x}^{4}}}}\left( 8xyz \right)\ne 0$ 。 $x{{y}^{5}}z$ 可表示为 $\frac{\text{1}}{{{\text{2}}^{p/q}}}$，其中 $p,q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。 2022-04-17 19:33:11
15200 5c90874d210b286d0745423a 高中 解答题 自招竞赛 非零整数 $a\text{,}b\text{,}r\text{,}s$ 满足复数 $r+si$ 是多项式 $P\left( x \right)\text{=}{{x}^{3}}-a{{x}^{2}}+bx-65$ 的一个零点。对每种可能的 $a\text{,}b$ 的组合，记 ${{P}_{a\text{,}b}}$ 为 $P\left( x \right)$ 所有零点的和。求所有 ${{P}_{a\text{,}b}}$ 的和。 2022-04-17 19:33:11
15199 5c90887d210b286d125ef406 高中 解答题 自招竞赛 对 $\pi \leqslant \theta \text{}2\pi $，$P\text{=}\frac{1}{2}\cos \theta -\frac{1}{4}\sin 2\theta -\frac{1}{8}\cos 3\theta +\frac{1}{16}\sin 4\theta +\frac{1}{32}\cos 5\theta -\frac{1}{64}\sin 6\theta -\frac{1}{128}\cos 7\theta +\cdots $，
$Q=1-\frac{1}{2}\sin \theta -\frac{1}{4}\cos 2\theta +\frac{1}{8}\sin 3\theta +\frac{1}{16}\cos 4\theta -\frac{1}{32}\sin 5\theta -\frac{1}{64}\cos 6\theta +\frac{1}{128}\sin 7\theta +\cdots $ 且有 $\frac{P}{Q}=\frac{2\sqrt{2}}{7}$ 。记 $\sin \theta \text{=}-\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$		 2022-04-17 19:32:11
15190 5c9c34c0210b280b2397ea43 高中 解答题 自招竞赛 实数 $a$ 从区间 $\left[ -20\text{,}18 \right]$ 均匀随机选取，多项式 ${{x}^{4}}+2a{{x}^{3}}+\left( 2a-2 \right){{x}^{2}}+\left( -4a+3 \right)x-2$ 的根都为实根的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:26:11
15189 5c9c34da210b280b2397ea53 高中 解答题 自招竞赛 求满足条件的从 $\left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$ 到 $\left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$ 的 $f\left( x \right)$ 的个数，使得 $f\left( f\left( x \right) \right)\text{=}f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right)$ 对任意 $x\in \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$ 成立。 2022-04-17 19:26:11
15148 5cb42f39210b280220ed1d88 高中 解答题 自招竞赛 设 ${x}_{1}$、${x}_{2}$、${x}_{3}$ 是方程 ${x}^{3}-17x-18=0$ 的三个根，$-4<{x}_{1}<-3$ 且 $4<{x}_{3}<5$． 2022-04-17 19:02:11
15146 5cb43cce210b280220ed1db5 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)=e^{x}-\cos x,x>0$．正实数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时 $f(a_{n})=a_{n-1}$．求证： 2022-04-17 19:01:11
15145 5cb57ec0210b280220ed1e8b 高中 解答题 自招竞赛 设 $\alpha,\beta\in(0,\dfrac{\pi}{2})$，证明：$\cos\alpha+\cos\beta+\sqrt{2}\sin\alpha\sin\beta\leqslant \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$． 2022-04-17 19:00:11
15144 5cb59044210b280220ed1eb2 高中 解答题 自招竞赛 若函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ 且满足条件：① 存在实数 $a\in(1,+\infty)$，使得 $f(a)=1$；② 当 $m\in\mathbf R$ 且 $x\in(0,+\infty)$ 时，有 $f(x^{m})-mf(x)=0$ 恒成立． 2022-04-17 19:59:10
15137 5cbd2646210b280220ed2280 高中 解答题 自招竞赛 设 $x,y,z\geqslant 0$．且至多有一个为 $0$，求的 $f(x,y,z)=\sqrt{\dfrac{x^2+256yz}{y^2+z^2}}+\sqrt{\dfrac{y^2+256xz}{z^2+x^2}}+\sqrt{\dfrac{z^2+256xy}{x^2+y^2}}$ 最小值． 2022-04-17 19:56:10
15136 5cbd8ae2210b280220ed2344 高中 解答题 自招竞赛 实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=\lambda(\lambda>0)$，试求 $f=\min\{ (a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\}$ 的最大值． 2022-04-17 19:55:10
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