实数 $a$ 从区间 $\left[ -20\text{,}18 \right]$ 均匀随机选取，多项式 ${{x}^{4}}+2a{{x}^{3}}+\left( 2a-2 \right){{x}^{2}}+\left( -4a+3 \right)x-2$ 的根都为实根的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2018年第36届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
037
【解析】
分别代入 $x\text{=}1\text{,}x\text{=}-2$ 得到多项式值为 $0$，所以原式可因式分解为 $\left(x-1 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+\left( 2a-1 \right)x+1 \right)$ 。所以我们只需使 ${{x}^{2}}+\left(2a-1 \right)x+1\text{=}0$ 的根为实数，即 ${{\left( 2a-1 \right)}^{2}}\geqslant 4$ 。所以不满足条件的 $a$ 的区间为 $\left(-\frac{1}{2}\text{,}\frac{3}{2} \right)$，$\frac{m}{n}\text{=}\frac{\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2} \right)}{18-\left( -20 \right)}\text{=}\frac{18}{19}$ 。所以 $m+n\text{=}18+19\text{=}037$
答案
解析
备注
