实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=\lambda(\lambda>0)$，试求 $f=\min\{ (a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$f_\max=\dfrac{\lambda}{2}$
【解析】
不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，令 $b=a+s,c=a+s+t,s\geqslant 0,t\leqslant 0$，则由条件知 $a^2+(a+b)^2+(a+s+t)^2=\lambda$，整理成关于 $a$ 的一元二次方程 $3a^2+2(2s+t)a+2s^2+2st+t^2-\lambda=0$．因为方程有解，则 $\Delta=4(2s+t)^2-12(2s^2+2st+t^2-\lambda)\geqslant 0$，解得 $s^2+st+t^2\leqslant \dfrac{3}{2}\lambda$．上式关于 $s,t$ 对称，不妨设 $0\leqslant s\leqslant t$，$f=\min\{(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\}=s^2$，又因为 $\dfrac{3}{2}\lambda\geqslant s^2+st+t^2\geqslant 3s^2$，所以 $s^2\leqslant \dfrac{\lambda}{2}$．当且仅当 $s=t=\sqrt{\dfrac{\lambda}{2}}$，即 $a=-\sqrt{\dfrac{\lambda}{2}},b=0,c=\sqrt{\dfrac{\lambda}{2}}$ 时上式取到等号，因此 $f_\max=\dfrac{\lambda}{2}$．
答案
解析
备注
