试求满足 ${{\log }_{a}}b+6{{\log }_{b}}a=5$，其中 $2\leqslant a\leqslant 2005$，$2\leqslant b\leqslant 2005$ 的有序整数 $\left( a ,b \right)$ 对的个数。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
54
【解析】
设 ${{\log }_{a}}b=x$，则由换底公式得 ${{\log}_{b}}a=\frac{1}{x}$，即 $x+\frac{6}{x}=5$，解得 $x=2$ 或 $x=3$ 。
因此 ${{\log }_{a}}b=2$ 或 ${{\log}_{a}}b=3$，即 ${{a}^{2}}=b$ 或 ${{a}^{3}}=b$ 。
当 ${{a}^{2}}=b$ 时，由于 $2\leqslant b\leqslant 2005$，即 $2\leqslant {{a}^{2}}\leqslant 2005$，注意到 ${{44}^{2}}<2005<{{45}^{2}}$，且 ${{1}^{2}}=1$，故 $a$ 有 $44-1=43$ 个可能的值，所以此时有43个满足要求的 $\left(a b \right)$ 。
当 ${{a}^{3}}=b$ 时，同理有 $2\leqslant{{a}^{3}}\leqslant 2005$，注意到 ${{12}^{3}}<2005<{{13}^{3}}$，且 ${{1}^{3}}=1$，故 $a$ 有 $12-1=11$ 个可能得值，所以此时有11个满足要求的 $\left(a,b \right)$ 。
综上所述，满足条件的有序整数对 $\left( a,b\right)$ 共有 $\text{43}+\text{11}=\text{54}$ 个。
因此 ${{\log }_{a}}b=2$ 或 ${{\log}_{a}}b=3$，即 ${{a}^{2}}=b$ 或 ${{a}^{3}}=b$ 。
当 ${{a}^{2}}=b$ 时，由于 $2\leqslant b\leqslant 2005$，即 $2\leqslant {{a}^{2}}\leqslant 2005$，注意到 ${{44}^{2}}<2005<{{45}^{2}}$，且 ${{1}^{2}}=1$，故 $a$ 有 $44-1=43$ 个可能的值，所以此时有43个满足要求的 $\left(a b \right)$ 。
当 ${{a}^{3}}=b$ 时，同理有 $2\leqslant{{a}^{3}}\leqslant 2005$，注意到 ${{12}^{3}}<2005<{{13}^{3}}$，且 ${{1}^{3}}=1$，故 $a$ 有 $12-1=11$ 个可能得值，所以此时有11个满足要求的 $\left(a,b \right)$ 。
综上所述，满足条件的有序整数对 $\left( a,b\right)$ 共有 $\text{43}+\text{11}=\text{54}$ 个。
答案
解析
备注
