设 ${x}_{1}$、${x}_{2}$、${x}_{3}$ 是方程 ${x}^{3}-17x-18=0$ 的三个根，$-4<{x}_{1}<-3$ 且 $4<{x}_{3}<5$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
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求 $x_2$ 的整数部分标注答案$-2$解析由于 ${x}_{1}$、${x}_{2}$、${x}_{3}$ 是方程的根，我们有 ${x}^{3}-17x-18=(x-{x}_{1})(x-{x}_{2})(x-{x}_{3})$．比较两端的系数可得 ${x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0$，${x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}{x}_{3}+{x}_{3}{x}_{1}=-17$，${x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}=18$．
由 ${x}_{1}\in(-4,-3)$ 和 ${x}_{3}\in(4,5)$ 可知 ${x}_{2}=-{x}_{1}-{x}_{3}\in(-2,0)$．注意 $f(x)={x}^{3}-17x-18$ 满足 $f(0)=-18<0$，$f(-1)=-2<0$，$f(-2)=8>0$，所以 $f(x)$ 在区间 $(-2,-1)$ 上有一个根，即 ${x}_{2}\in(-2,-1)$．因此 ${x}_{2}$ 的整数部分为 $-2$． -
求 $\arctan {x}_{1}+\arctan {x}_{2}+\arctan {x}_{3}$ 的值标注答案$-\dfrac{\pi}{4}$解析设 $\arctan x_{i}=\theta$，$i=1,2,3$．由第一问可知 $\theta_1,\theta_2\in(-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{4})$，且 $\theta_3\in(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})$，因此 $\theta_1+\theta_2+\theta_3\in(-\dfrac{3\pi}{4},0)$．注意 $\tan (\theta_1+\theta_2)=\dfrac{\tan \theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}=\dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$，从而 $\tan (\theta_1+\theta_2+\theta_3)=\dfrac{\tan (\theta_1+\theta_2)+\tan\theta_3}{1-\tan(\theta_1+\theta_2)\tan\theta_3}=\dfrac{\dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}+{x}_{3}}{1-{x}_{3}\dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}}=\dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}-{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}{1-({x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}{x}_{3}+{x}_{3}{x}_{1})}=\dfrac{0-18}{1-(-17)}=-1$．这表明 $\theta_1+\theta_2+\theta_3=-\dfrac{\pi}{4}$，即 $\arctan {x}_{1}+\arctan {x}_{2}+\arctan {x}_{3}=-\dfrac{\pi}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
