集合 $A$ 是 $\left\{ 1, 2 ,\ldots ,100 \right\}$ 的一个 $10$ 元子集，定义 $S$ 为 $A$ 中所有元素之和，试求出 $S$ 的所有不同可能值的个数。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
901
【解析】
$S$ 可能的最小值是 $1+2+\ldots +90\text{=}4095$，可能最大值是 $11+12+\ldots +100=4995$ 。此外，从4096到4994间的每一整数都是 $S$ 的可能值。为了说明这一点，设整数 $4096\leqslant S\leqslant 4994$ 得 $0<\frac{S-4095}{90}<10$，令 $\left[ \frac{S-4095}{90}\right]=x$，则 $0\leqslant x\leqslant 9$，且有 $0\leqslant S-4095-90x\leqslant 89$ 。则在 $x+1$，$x+2$，$\cdots$，$x+91-\left( S-4095-90x\right)$ 后，剩下的数之和即为 $S$，因此 $S$ 可能的值有 $4995-4095+1=901$ 个。
答案
解析
备注
