设整数 $m\geqslant 3$，集合 $S=\left\{ 3, 4 ,5 ,\ldots, m \right\}$ 满足以下条件：把 $S$ 任意划分成两个子集，至少有一个子集包含整数 $a$，$b$，$c$（不一定相异）使得 $ab=c$ 。求 $m$ 的最小值（集合 $S$ 的一个划分是指把 $S$ 分为两个集合 $A$ 和 $B$，使得 $A\bigcap B=\varnothing $，$A\bigcup B=S$）
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
243
【解析】
首先证明 $m\geqslant 243$，令 $S=\left\{ 3, 4 ,\ldots ,243 \right\}$，假设 $T$ 和 $U$ 构成 $S$ 的一个划分，且这两个子集都不包含整数 $a$，$b$，$c$，使得 $ab=c$ 。不失一般性，设 $3\in\mathbf{T}$，则必须有 ${{3}^{2}}\in \mathbf{U}$ 。
如果 ${{3}^{3}}\in \mathbf{T}$，则因为 ${{3}^{4}}=3\times {{3}^{3}}={{3}^{2}}\times{{3}^{2}}$，所以必有一个子集包含整数 $a$，$b$，$c$ 使得 $ab=c$ 。矛盾。
另一方面，如果 ${{3}^{3}}\in \mathbf{U}$，则 ${{3}^{3}}\in \mathbf{T}$ 且 ${{3}^{5}}\in\mathbf{U}$ 。因为 ${{3}^{2}}\in \mathbf{U}$，而 ${{3}^{5}}={{3}^{2}}\times {{3}^{3}}$，所以 $U$ 包含整数 $a$，$b$，$c$ 使得 $ab=c$ 。矛盾。所以这样的划分不存在。
如果 $m\leqslant 242$，则 $S=\left\{ 3,4, 5, \ldots, m \right\}$ 可以划分成 $T=\left\{9 ,10 ,\ldots, 80 \right\}\bigcap S$ 和 $U=S/T$ 这两个子集都不包含整数 $a$，$b$，$c$ 使得 $ab=c$ 。
如果 ${{3}^{3}}\in \mathbf{T}$，则因为 ${{3}^{4}}=3\times {{3}^{3}}={{3}^{2}}\times{{3}^{2}}$，所以必有一个子集包含整数 $a$，$b$，$c$ 使得 $ab=c$ 。矛盾。
另一方面，如果 ${{3}^{3}}\in \mathbf{U}$，则 ${{3}^{3}}\in \mathbf{T}$ 且 ${{3}^{5}}\in\mathbf{U}$ 。因为 ${{3}^{2}}\in \mathbf{U}$，而 ${{3}^{5}}={{3}^{2}}\times {{3}^{3}}$，所以 $U$ 包含整数 $a$，$b$，$c$ 使得 $ab=c$ 。矛盾。所以这样的划分不存在。
如果 $m\leqslant 242$，则 $S=\left\{ 3,4, 5, \ldots, m \right\}$ 可以划分成 $T=\left\{9 ,10 ,\ldots, 80 \right\}\bigcap S$ 和 $U=S/T$ 这两个子集都不包含整数 $a$，$b$，$c$ 使得 $ab=c$ 。
答案
解析
备注
