题目 若函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ 且满足条件：① 存在实数 $a\in(1,+\infty)$，使得 $f(a)=1$；② 当 $m\in\mathbf R$ 且 $x\in(0,+\infty)$ 时，有 $f(x^{m})-mf(x)=0$ 恒成立． 问题1 证明：$f(\dfrac{x}{y})=f(x)-f(y)$（其中 $x>0,y>0$） 答案1 略 解析1 因 $x,y$ 均为正数，故总存在实数 $m$、$n$ 使得 $x=a^{m}$，$y=a^{n}(a>1)$，所以 $f(\dfrac{x}{y})=f(\dfrac{a^{m}}{a^{n}})=f(a^{m-n})=(m-n)f(a)=m-n$．又 $f(x)-f(y)=f(a^{m})-f(a^{n})=mf(a)-nf(a)=m-n$，所以 $f(\dfrac{x}{y})=f(x)-f(y)$． 备注1 问题2 判断 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性，并证明你的结论 答案2 单调递增 解析2 设 $x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)$，且 $x_{1}>x_{2}$，则 $\dfrac{x_{1}}{x_{2}}>1$．故可令 $\dfrac{x_{1}}{x_{2}}=a^{a}(a>1,a>0)$，则由（1）知 $f(x_{1})-f(x_{2})=f(\dfrac{x_{1}}{x_{2}})=f(a^{2})=af(a)=a>0$，即 $f(x_{1})>f(x_{2})$．所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增． 备注2 问题3 当 $t>0$ 时，不等式 $f(t^{2}+4)-f(t)\geqslant 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围． 答案3 $a\in(1,4]$ 解析3 因为 $f(a)=1$，故原不等式可化为 $f(\dfrac{t^{2}+4}{t})\geqslant f(a)$，又 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $\dfrac{t^{2}+4}{t}\geqslant a$ 对于 $t>0$ 恒成立．因为 $\dfrac{t^{2}+4}{t}=t+\dfrac{4}{t}\geqslant 2\sqrt{t\cdot\dfrac{4}{t}}=4$（当且仅当 $t=2$ 时等号成立），所以 $a\leqslant 4$．又 $a\in(1,+\infty)$，故 $a\in(1,4]$． 备注3