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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27587 59082535060a05000980afae 高中 解答题 高中习题 已知 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 是互异的 $4$ 个正实数，且满足$$(x_1+x_2+x_3+x_4)\cdot\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+\dfrac{1}{x_4}\right)<17,$$求证：从 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 中任取 $3$ 个数作边长，可以作出 $4$ 个不同的三角形． 2022-04-17 21:39:05
27538 5937c16ead99bb000a81075b 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 满足：
① $f(x)$ 的一个零点为 $2$；
② $f(x)$ 的最大值为 $1$；
③ 对任意实数 $x$ 都有 $f(x+1)=f(1-x)$．		 2022-04-17 21:13:05
27499 5947908ea26d28000a4db49a 高中 解答题 高中习题 分解因式：$x^4+3x^3+\dfrac 92x^2+3x+1$． 2022-04-17 21:51:04
27497 59095042060a05000970b3a2 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x^2+px+q$，求证：$|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|$ 中至少有一个不小于 $\dfrac 12$． 2022-04-17 21:50:04
27458 590986be39f91d000a7e4559 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $x,y,z$ 满足方程组$$\begin{cases}\log _2 \left (xyz-3+\log _5 x\right )=5,\\ \log _3 \left (xyz-3+\log _5 y\right )=4, \\ \log _4 \left (xyz-3+\log _5 z\right )=4. \end{cases}$$求 $\left |\log_5x \right |+\left |\log_5y \right |+\left |\log_5z \right |$ 的值． 2022-04-17 21:25:04
27435 5909904c38b6b400072dd210 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，$p>3$．数列 $\{a_n\}$ 定义为$$a_1=2,a_n=a_{n-1}+\left\lceil\dfrac{pa_{n-1}}n\right\rceil,n=2,3,\cdots.$$这里 $\left\lceil x\right\rceil$ 表示不小于实数 $x$ 的最小整数．证明：对 $n=3,4,\cdots,p-1$ 均有 $n\mid pa_{n-1}+1$ 成立． 2022-04-17 21:13:04
27336 590ad1fb6cddca0008610ef7 高中 解答题 高中习题 设函数 $f(x)=ax^2+(2b+1)x-a-2$（$a,b\in\mathbb R$，$a\neq 0$）． 2022-04-17 21:14:03
27312 590addd76cddca000a081a93 高中 解答题 高中习题 已知 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求证： 2022-04-17 21:02:03
27309 590ae6366cddca0008610f85 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left( x \right) ={x^3}+ 3\left|{x - a}\right|\left(a \in{\mathbb{R}}\right)$． 2022-04-17 21:00:03
27286 5954bfead3b4f90007b6fb76 高中 解答题 高中习题 已知不等式 $x^2-2ax+2\geqslant a$ 对任意 $x \geqslant -1$ 都成立，求实数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 21:49:02
27285 5954dee7d3b4f900086c43c7 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+b-a$（$a,b\in\mathbb{R}$，且 $a,b$ 不同时为 $0$）． 2022-04-17 21:48:02
27283 590bd60d6cddca0008610fdf 高中 解答题 高中习题 已知 $\alpha,\beta\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\left|\dfrac{\sin^n\alpha+\sin^n\beta}{1+\sin^n\alpha\sin^n\beta}\right|<1$． 2022-04-17 21:47:02
27280 590bd8ed6cddca00078f3a96 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x) = \dfrac {\sqrt 2 }2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin \left( x + \dfrac{\pi }{4}\right) - 2a\sin x + b(a>0)$ 的最大值为 $1$，最小值为 $ - 4$，求 $a,b$ 的值． 2022-04-17 21:45:02
27269 5955c351d3b4f90007b6fc00 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f\left( x \right)$ 为一元二次函数，且 $a,f\left( a \right),f\left( {f\left( a \right)} \right),f\left( {f\left( {f\left( a \right)} \right)} \right)$ 为正项等比数列，求证：$f\left( a \right) = a$． 2022-04-17 21:40:02
27199 590c1b92d42ca700093fc621 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)=2x^2-ax+7$，已知存在 $\varphi\in \left( \dfrac {\pi} 4,\dfrac {\pi} 2\right) $，满足 $f(\sin \varphi)=f(\cos \varphi)$，求参数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 21:02:02
27197 590c24e5857b4200092b0656 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^{\left[ {\frac{n}{3}} \right]} {\left[ {\dfrac{{n - 3i}}{2}} \right]} = \left[ {\dfrac{{{n^2} + 2n + 4}}{{12}}} \right]$． 2022-04-17 21:01:02
27163 590fd554857b4200085f8653 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f\left( x \right) = 2\left( {\sin 2x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\cos x - \sin 3x$，且 $x \in \left[ {0, 2\pi} \right]$． 2022-04-17 21:41:01
27147 590fea47857b4200092b078a 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)=ax^2+8x+b$，$g(x)=bx^2+8x+a$，且 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最小值之和为 $0$，求 $f(x)$ 的最小值与 $g(x)$ 的最小值． 2022-04-17 21:33:01
27140 590fed3d857b420007d3e5f8 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $y = f(x)$ 的图象关于点 $(1,0)$ 对称，且当 $x \leqslant 1$ 时，$f(x) = \dfrac{{7x - 7}}{{{x^2} - x + 1}}$． 2022-04-17 21:29:01
27068 59579f44d3b4f900095c66b3 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），求证：最多存在两个整数 $s,t$，使得 $|f(s)|,|f(t)|$ 小于 $\dfrac a2$． 2022-04-17 21:49:00
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