设函数 $f(x)=ax^2+(2b+1)x-a-2$（$a,b\in\mathbb R$，$a\neq 0$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $a=-2$，求函数 $y=|f(x)|$ 在 $[0,1]$ 上的最大值 $M(b)$；标注答案$M(b)=\begin{cases} 1-2b,&b<\dfrac{4\sqrt 2-5}2,\\ \dfrac 18(1+2b)^2,&\dfrac{-5+4\sqrt 2}2\leqslant b\leqslant \dfrac 32,\\ 2b-1,&b>\dfrac 32.\end{cases}$解析$a=-2$ 时，$$f(x)=-2x^2+(2b+1)x=-2x\left(x-b-\dfrac 12\right).$$所以 $y=|f(x)|$ 的最值可能在 $0,1,\dfrac b2+\dfrac 14$ 处取到，先分别计算$$f(0)=0,f(1)=2b-1,f\left(\dfrac b2+\dfrac 14\right)=\dfrac {(2b+1)^2}{8}\geqslant 0.$$当 $\dfrac b2+\dfrac 14<0$ 或 $\dfrac b2+\dfrac 14>1$，即 $b<-\dfrac 12$ 或 $b>\dfrac 32$ 时，$$M(b)=|f(1)|=|1-2b|;$$当 $-\dfrac 12\leqslant b\leqslant \dfrac 32$ 时，有$$M(b)=\max\left\{|f(1)|,f\left(\dfrac b2+\dfrac 14\right)\right\}.$$当 $-\dfrac 12\leqslant b\leqslant \dfrac 12$ 时，考虑到$$f\left(\dfrac b2+\dfrac 14\right)-|f(1)|=\dfrac {4b^2+20b-7}{2},$$所以当 $b<\dfrac {4\sqrt 2-5}{2}$ 时，$f\left(\dfrac b2+\dfrac 14\right)<|f(1)|$，此时 $M(b)=|f(1)|$；
当 $\dfrac {4\sqrt 2-5}{2}\leqslant b\leqslant \dfrac 12$ 时，$$M(b)=f\left(\dfrac b2+\dfrac 14\right).$$当 $\dfrac 12<b\leqslant \dfrac 32$ 时，$f\left(\dfrac b2+\dfrac 14\right)>f(1)=|f(1)|$，所以 $M(b)=f\left(\dfrac b2+\dfrac 14\right)$；
综上有，\[M(b)=\begin{cases} 1-2b,&b<\dfrac{4\sqrt 2-5}2,\\ \dfrac 18(1+2b)^2,&\dfrac{-5+4\sqrt 2}2\leqslant b\leqslant \dfrac 32,\\ 2b-1,&b>\dfrac 32.\end{cases}\] -
若函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 有两个不同的零点，求证：$\dfrac{(2+a)(1-2b)}{a^2}<\dfrac{1}{16}$．标注答案略解析一方面，有 $f(0)\cdot f(1)=(-a-2)(2b-1)$．另一方面，设 $f(x)$ 的两个零点分别为 $x_1,x_2$，则 $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$，于是\[\begin{split} f(0)\cdot f(1)=&a(-x_1)(-x_2)\cdot a(1-x_1)(1-x_2)\\=&ax_1(1-x_1)x_2(1-x_2)\\\leqslant &a^2\cdot\left(\dfrac {x_1+1-x_1}{2}\right)^2\cdot\left(\dfrac {x_2+1-x_2}{2}\right)^2\\=&\dfrac{a^2}{16},\end{split}\]因为 $x_1\ne x_2$，所以等号取不到，于是原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
