已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 满足：
① $f(x)$ 的一个零点为 $2$；
② $f(x)$ 的最大值为 $1$；
③ 对任意实数 $x$ 都有 $f(x+1)=f(1-x)$．
① $f(x)$ 的一个零点为 $2$；
② $f(x)$ 的最大值为 $1$；
③ 对任意实数 $x$ 都有 $f(x+1)=f(1-x)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $f(x)$ 的解析式；标注答案$f(x)=-x^2+2x$解析略
-
设函数 $g(x)=\begin{cases}x,&x\in A,\\f(x),&x\in B\end{cases}$ 是定义域为 $(0,1)$ 的单调递增函数，$0<x_0<x'<1$．当 $x_0\in B$ 时，证明：$x'\in B$．标注答案略解析用反证法，设 $x'\in A$，那么对任意 $0<\delta<x'-x_0$，在区间 $\left[x_0,x'\right]$ 上必然存在某个长度小于 $\delta$ 的子区间 $\left[t,t+\varepsilon\right]$ 满足 $t\in B$ 且 $t+\varepsilon\in A$．（只要需要将区间 $\left[x_0,x'\right]$ 平均分为 $N$ 份，其中 $N=\left[\dfrac{x'-x_0}{\delta}\right]+1$，然后逐一考察每个子区间即可．）
于是考虑\[\begin{split}g\left(t+\varepsilon\right)-g(t)&=t+\varepsilon-\left(2t-t^2\right)\\&=\left(t^2-t\right)+\varepsilon\\&\leqslant \max\left\{x_0^2-x_0,x'^2-x'\right\}+\varepsilon,\end{split}\]此时只需要取$$\delta=-\dfrac 12\max\left\{x_0^2-x_0,x'^2-x'\right\}$$就可以使得$$g\left(t+\varepsilon\right)-g(t)<0,$$与 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增矛盾．
因此 $x'\in B$，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
