已知 $f(x) = \dfrac {\sqrt 2 }2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin \left( x + \dfrac{\pi }{4}\right) - 2a\sin x + b(a>0)$ 的最大值为 $1$，最小值为 $ - 4$，求 $a,b$ 的值．
【难度】
【出处】
2014年清华大学等五校联考自主招生试题
【标注】
【答案】
$a = \dfrac{5}{4}$，$b = - 1$
【解析】
根据题意\[\begin{split}f\left( x \right) &= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right) - 2a\sin x + b\\&= \dfrac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) - 2a\sin x + b\\&= - {\sin ^2}x - 2a\sin x + b + \dfrac{1}{2},\end{split}\]令 $y = f\left( x \right)$，$t = \sin x$，$t \in \left[ { - 1 , 1} \right]$，则\[y = - {t^2} - 2at + b + \dfrac{1}{2},\]考虑到对称轴为 $t = - a<0$，于是当 $-a<-1$ 时，有\[\begin{cases} {\left. y \right|_{t = - 1}} = 1, \\ {\left. y \right|_{t = 1}} = - 4, \\ \end{cases}\]当 $-1\leqslant -a<0$ 时，有\[\begin{cases} {\left. y \right|_{t = - a}} = 1, \\ {\left. y \right|_{t = 1}} = - 4, \\ \end{cases}\]解得 $a = \dfrac{5}{4}$，$b = - 1$．
答案
解析
备注
