已知 $\alpha,\beta\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\left|\dfrac{\sin^n\alpha+\sin^n\beta}{1+\sin^n\alpha\sin^n\beta}\right|<1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用分析法，原命题等价于$$\left(\sin^n\alpha+\sin^n\beta\right)^2<\left(1+\sin^n\alpha\sin^n\beta\right)^2,$$即$$\sin^{2n}\alpha+\sin^{2n}\beta+2\sin^n\alpha\sin^n\beta<1+\sin^{2n}\alpha\sin^{2n}\beta+2\sin^n\alpha\sin^n\beta,$$也即$$\left(1-\sin^{2n}\alpha\right)\left(1-\sin^{2n}\beta\right)>0,$$这显然成立．
答案
解析
备注
