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  利用导数研究函数的性质

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  利用导数研究函数的最值

$$M(a)-m(a)=\begin{cases} 8,a\leqslant -1,\\-a^3-3a+4,-1<a\leqslant \dfrac 13,\\ -a^3+3a+2,\dfrac 13<a<1,\\4,a\geqslant 1.\end{cases}$$

根据题意，有$$f(x)=\begin{cases} x^3+3x-3a,&x>a,\\a^3,&x=a,\\ x^3-3x+3a,&x<a,\end{cases}$$因此$$f'(x)=\begin{cases} 3x^2+3,&x>a,\\3x^2-3,&x<a.\end{cases}$$按 $a$ 与 $-1,1$ 的大小关系展开讨论．
情形一当 $a\leqslant -1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上单调递增，因此 $M(a)=f(1)=4-3a$，$m(a)=f(-1)=-4-3a$．
情形二当 $-1<a<1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,a]$ 上单调递减，在 $[a,1]$ 上单调递增，因此$$M(a)=\max\left\{f(-1),f(1)\right\}=\begin{cases} 4-3a,-1<a\leqslant \dfrac 13,\\2+3a,\dfrac 13 <a<1,\end{cases}$$而 $m(a)=f(a)=a^3$．
情形三当 $a\geqslant 1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减，因此 $M(a)=f(-1)=2+3a$，$m(a)=f(1)=-2+3a$．
综上所述，$$M(a)-m(a)=\begin{cases} 8,a\leqslant -1,\\-a^3-3a+4,-1<a\leqslant \dfrac 13,\\ -a^3+3a+2,\dfrac 13<a<1,\\4,a\geqslant 1.\end{cases}$$

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  不等式(组)的规划

$[-2,0]$

根据题意，有 $-2-b\leqslant f(x)\leqslant 2-b$，也即 $M(a)\leqslant 2-b$ 且 $m(a)\geqslant -2-b$．
情形一当 $a\leqslant -1$ 时，有$$\begin{cases} 4-3a\leqslant 2-b,\\-4-3a\geqslant -2-b,\end{cases}$$即$$2+6a\leqslant 3a+b\leqslant -2+6a,$$显然无解．
情形二当 $-1<a\leqslant \dfrac 13$ 时，有$$\begin{cases} 4-3a\leqslant 2-b,\\ a^3\geqslant -2-b,\end{cases}$$即$$-a^3+3a-2\leqslant 3a+b\leqslant 6a-2.$$情形三当 $\dfrac 13<a<1$ 时，有$$\begin{cases} 2+3a\leqslant 2-b,\\ a^3\geqslant -2-b,\end{cases}$$即$$-a^3+3a-2\leqslant 3a+b\leqslant 0.$$情形四当 $a \geqslant 1$ 时，有$$\begin{cases} 2+3a\leqslant 2-b,\\ -2+3a\geqslant -2-b,\end{cases}$$即 $3a+b=0$．
接下来求解情形二和情形三中的不等式组，由于$$-a^3+3a-2-(6a-2)=-a(a^2+3),$$因此在 $\left(-1,\dfrac 13\right)$ 上曲线 $y=-a^3+3a-2$ 与直线 $y=6a-2$ 只有一个交点 $(0,-2)$．如图，画出曲线 $y=-a^3+3a-2$ 与直线 $y=6a-2$，可得图中的阴影部分内（包括边界）的点的纵坐标的取值范围即 $3a+b$ 的取值范围．因此当 $-1<a<1$ 时，$3a+b$ 的取值范围是 $[-2,0]$．
综合以上四种情形，可得 $3a+b$ 的取值范围是 $[-2,0]$．