题目 已知 $f(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+b-a$（$a,b\in\mathbb{R}$，且 $a,b$ 不同时为 $0$）． 问题1 当 $a=\dfrac{1}{3}$ 时，若 $f(x)>-\dfrac{1}{3}$ 对 $\forall x\in\mathbb{R}$ 恒成立，求 $b$ 的范围； 答案1 $(0,1)$ 解析1 根据题意，有\[\forall x\in\mathbb R,x^2+2bx+b>0,\]于是\[\Delta=(2b)^2-4b<0,\]解得 $b$ 的取值范围是 $(0,1)$． 备注1 问题2 求证：$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 内至少有一个零点． 答案2 略 解析2 若 $a=0$，则 $f(x)=b(2x+1)$，于是 $x=-\dfrac 12$ 是函数的零点，命题得证；<br/>若 $a\neq 0$，则$$f(x)=a\left(3x^2+2\cdot\dfrac ba\cdot x+\dfrac ba-1\right),$$设 $\dfrac ba=t$，且$$g(x)=3x^2+2tx+t-1,$$则欲证命题等价于 $g(x)$ 在 $(-1,0)$ 内有零点．<br/>考虑到 $g(-1)=2-t$，$g(0)=t-1$．接下来有两种方式解决问题．<br/><sol>方式一</sol><br/>若 $g(-1)\cdot g(0)<0$，则命题成立；<br/>若 $g(-1)\cdot g(0)\geqslant 0$，则 $1\leqslant t\leqslant 2$，而 $g(-1),g(0)\geqslant 0$．<br/>此时函数 $g(x)$ 的对称轴为 $x=-\dfrac t3$，在区间 $\left[-\dfrac 23,-\dfrac 13\right]$ 内，而判别式$$\Delta=4(t^2-3t+3)>0,$$因此命题成立．<br/>综上所述，原命题得证．<br/><sol>方式二</sol>取 $g\left(-\dfrac 12\right)=-\dfrac 14$，而 $g(-1)$ 和 $g(0)$ 至少有一个为正数，因此原命题得证． 备注2