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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27446 59098a7039f91d000a7e458b 高中 解答题 高中习题 如图，已知四边形 $ABCD$ 既有外接圆又有内切圆．设四边形的四边长分别为 $a,b,c,d$，内切圆圆心到四个顶点的距离分别为 $a',b',c',d'$，内切圆半径为 $r$．求证：$$\sin A+\sin B+\sin C+\sin D=\dfrac{8abcdr}{a'b'c'd'(a+b+c+d)}.$$ 2022-04-17 21:18:04
27438 59098e3938b6b4000adaa23c 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z\in (0,1)$，求证：$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1$． 2022-04-17 21:15:04
27426 59099dfd38b6b4000adaa2c0 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y\in\mathbb R$，则 $\max\{x^2+xy+x,4y^2+xy+2y\}$ 的最小值是 ． 2022-04-17 21:08:04
27418 590a838e6cddca00078f3808 高中 解答题 高中习题 设非负实数 $a,b,c$ 都满足 $a^2+b^2+c^2+abc=4$，求证：$0\leqslant ab+bc+ca-abc\leqslant 2$． 2022-04-17 21:03:04
27413 590a8ef86cddca00092f6eae 高中 解答题 自招竞赛 设正数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=1$，求 $\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}$ 的取值范围． 2022-04-17 21:00:04
27404 590a93dd6cddca000a0818c7 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a+b+c=1$，求证：$5\left(a^2+b^2+c^2\right)+18abc\geqslant \dfrac 73$． 2022-04-17 21:54:03
27401 590a95b86cddca00092f6eea 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三条边长，且 $a^2+2b^2+3c^2=1$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值． 2022-04-17 21:52:03
27400 590a99706cddca00092f6f01 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，且 $abc+a+c=b$，求 $m=\dfrac{2}{a^2+1}-\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}$ 的最大值． 2022-04-17 21:52:03
27398 590a9a356cddca000a0818ee 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=\ln x$，$n$ 是正整数，求证：$$\displaystyle \dfrac 54n+\dfrac 1{60}<\sum_{k=1}^n\left[2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)\right]<2n+1.$$ 2022-04-17 21:51:03
27396 590a9a916cddca0008610dad 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长，求证：$$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geqslant 0.$$ 2022-04-17 21:49:03
27391 590aa2f96cddca00092f6f3f 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z>0$，且 $x+y+z=1$，求证：$$\dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\dfrac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2.$$ 2022-04-17 21:47:03
27388 590aa3ed6cddca000a08193b 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z>0$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{z\left(z^2-y^2\right)}{x+y}\geqslant 0$． 2022-04-17 21:45:03
27385 590aa5586cddca000a08194c 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{k+2}{(2k+1)(2k+3)\cdot 3^{k-1}}<\dfrac 14$． 2022-04-17 21:42:03
27379 590aa6f86cddca00078f38f0 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y\in (0,1)$，$n\in\mathbb N^*$，求证：$\dfrac{x^n}{1-x^2}+\dfrac{y^n}{1-y^2}\geqslant \dfrac{x^n+y^n}{1-xy}$． 2022-04-17 21:40:03
27371 590ac2566cddca0008610e32 高中 解答题 高中习题 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=abc$，求证：$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leqslant \dfrac 32$． 2022-04-17 21:34:03
27370 590ac2756cddca000a08199e 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c,d>0$，且 $a+b+c+d=4$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{a+1}{b^2+1}\geqslant 4$． 2022-04-17 21:34:03
27367 590ac4b66cddca0008610e4c 高中 解答题 自招竞赛 若实数 $a,b,c$ 满足 $2^a+4^b=2^c$，$4^a+2^b=4^c$，求 $c$ 的最小值． 2022-04-17 21:33:03
27361 590ac7486cddca0008610e60 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，求证：$\displaystyle \dfrac{a^2b(b-c)}{a+b}+\dfrac{b^2c(c-a)}{b+c}+\dfrac{c^2a(a-b)}{c+a}\geqslant 0$． 2022-04-17 21:29:03
27360 590ac7626cddca0008610e66 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z\in\mathbb R$，$k>0$，求证：$4\left(x^2+k\right)\left(y^2+k\right)\left(z^2+k\right)\geqslant 3k^2\left(x+y+z\right)^2$． 2022-04-17 21:28:03
27359 590ac7856cddca0008610e6d 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\in\mathbb R$，且 $a+b+c=1$，$a^2+b^2+c^2=1$，求证：$a^5+b^5+c^5\leqslant 1$． 2022-04-17 21:28:03
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