若实数 $a,b,c$ 满足 $2^a+4^b=2^c$，$4^a+2^b=4^c$，求 $c$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
${\log_2}3-\dfrac 53$
【解析】
记 $x=2^a$，$y=2^b$，$z=2^c$，则\[\begin{cases}x+y^2=z,\\x^2+y=z^2,\end{cases}\]消元得\[\left(z-y^2\right)^2+y=z^2,\]整理得\[z=\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{1}{2y}=\dfrac{y^2}2+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{4y}\geqslant 3\sqrt[3]{\dfrac{y^2}2\cdot\dfrac{1}{4y}\cdot\dfrac{1}{4y}}=\dfrac{3}{4}\sqrt[3]{2},\]等号当 $y=\dfrac{1}{\sqrt[3]2}$，$x=\dfrac{\sqrt[3]2}4$ 时取得．于是 $z$ 的最小值为 $\dfrac{3}4\sqrt[3]2$，进而 $c$ 的最小值为\[{\log_2}\left(\dfrac 34\sqrt[3]2\right)={\log_2}3-\dfrac 53.\]
答案
解析
备注
