已知 $a,b,c>0$，求证：$\displaystyle \dfrac{a^2b(b-c)}{a+b}+\dfrac{b^2c(c-a)}{b+c}+\dfrac{c^2a(a-b)}{c+a}\geqslant 0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原不等式即$$abc\cdot\dfrac{a(b-c)}{c(a+b)}+abc\cdot \dfrac{b(c-a)}{a(b+c)}+abc\cdot \dfrac{c(a-b)}{b(c+a)}\geqslant 0,$$分别令 $x=bc$，$y=ca$，$z=ab$，则原不等式等价于$$\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}\geqslant \dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{y+z}+\dfrac{x}{z+x}.$$不妨设 $z$ 最小．若 $x\geqslant y\geqslant z$，则$$\dfrac{1}{y+z}\geqslant\dfrac {1}{z+x}\geqslant \dfrac{1}{x+y},$$于是根据排序不等式，命题得证．若 $y\geqslant x\geqslant z$，则$$\dfrac{1}{z+x}\geqslant\dfrac {1}{y+z}\geqslant \dfrac{1}{x+y},$$于是根据排序不等式，命题得证．
综上所述，原命题得证．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
