设 $x,y,z>0$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{z\left(z^2-y^2\right)}{x+y}\geqslant 0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设$$A=\sum_{cyc}\dfrac{z\left(z^2-y^2\right)}{x+y},B=\sum_{cyc}\dfrac{z\left(z^2-x^2\right)}{x+y},$$则有$$A-B=z(x-y)+x(y-z)+y(z-x)=0,$$于是 $A=B$．因此只需要证明 $A+B\geqslant 0$，即$$\sum_{cyc}\dfrac{2z^3}{x+y}\geqslant \sum_{cyc}\dfrac{y^2z}{x+y}+\sum_{cyc}\dfrac{x^2z}{x+y},$$不妨设 $x\leqslant y\leqslant z$，则$$z^2,y^2,x^2$$与$$\dfrac{z}{x+y},\dfrac{y}{z+x},\dfrac{x}{y+z}$$为顺序排列，根据排序不等式，有$$\sum_{cyc}\dfrac{z^3}{x+y}\geqslant \sum_{cyc}\dfrac{y^2z}{x+y},\sum_{cyc}\dfrac{z^3}{x+y}\geqslant \sum_{cyc}\dfrac{x^2z}{x+y},$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
