设 $a,b,c,d>0$，且 $a+b+c+d=4$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{a+1}{b^2+1}\geqslant 4$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于\begin{eqnarray*}\begin{split} \dfrac{a+1}{b^2+1}&=(a+1)\left(1-\dfrac{b^2}{b^2+1}\right)\\
&\geqslant (a+1)-(a+1)\cdot \dfrac{b^2}{2b}\\
&=(a+1)-\dfrac{ab+b}2,\end{split} \end{eqnarray*}于是\begin{eqnarray*}\begin{split} LHS&\geqslant 4+\dfrac{\sum\limits\limits_{cyc}a-\sum\limits_{cyc}ab}2\\
&=4+\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}a\right)^2-4\sum\limits_{cyc}ab}{8}\\
&\geqslant 4,\end{split} \end{eqnarray*}因此原不等式得证．
&\geqslant (a+1)-(a+1)\cdot \dfrac{b^2}{2b}\\
&=(a+1)-\dfrac{ab+b}2,\end{split} \end{eqnarray*}于是\begin{eqnarray*}\begin{split} LHS&\geqslant 4+\dfrac{\sum\limits\limits_{cyc}a-\sum\limits_{cyc}ab}2\\
&=4+\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}a\right)^2-4\sum\limits_{cyc}ab}{8}\\
&\geqslant 4,\end{split} \end{eqnarray*}因此原不等式得证．
答案
解析
备注
