设 $a,b,c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长，求证：$$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geqslant 0.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $a=y+z$，$b=z+x$，$c=x+y$，$x,y,z>0$，则原不等式等价于$$\sum_{cyc}\left[2xy^2(y-z)\right]\geqslant 0,$$即$$xy^3+yz^3+zx^3\geqslant xyz(x+y+z),$$也即$$\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{x^2}{y}\geqslant x+y+z,$$由柯西不等式，上述不等式成立，因此原不等式得证．
答案
解析
备注
