设 $x,y,z\in\mathbb R$，$k>0$，求证：$4\left(x^2+k\right)\left(y^2+k\right)\left(z^2+k\right)\geqslant 3k^2\left(x+y+z\right)^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
换元，令 $a=\dfrac{x\sqrt 2}{\sqrt k}$，$b=\dfrac{y\sqrt 2}{\sqrt k}$，$c=\dfrac{z\sqrt 2}{\sqrt k}$，则原不等式等价于$$\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\geqslant 3(a+b+c)^2.$$由均值不等式和柯西不等式有\[\begin{split} LHS&=\left(a^2b^2+1+2a^2+2b^2+3\right)\left(c^2+2\right)\\
&\geqslant \left(2ab+2a^2+2b^2+3\right)\left(c^2+2\right)\\
&\geqslant\left[\dfrac 32(a+b)^2+3\right]\left(c^2+2\right)\\
&=\dfrac 32\left[(a+b)^2+2\right]\left(2+c^2\right)\\
&\geqslant \dfrac 32\left[(a+b)\cdot \sqrt 2+\sqrt 2\cdot c\right]^2\\
&=RHS
,\end{split}\]因此原不等式得证．
&\geqslant \left(2ab+2a^2+2b^2+3\right)\left(c^2+2\right)\\
&\geqslant\left[\dfrac 32(a+b)^2+3\right]\left(c^2+2\right)\\
&=\dfrac 32\left[(a+b)^2+2\right]\left(2+c^2\right)\\
&\geqslant \dfrac 32\left[(a+b)\cdot \sqrt 2+\sqrt 2\cdot c\right]^2\\
&=RHS
,\end{split}\]因此原不等式得证．
答案
解析
备注
