求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{k+2}{(2k+1)(2k+3)\cdot 3^{k-1}}<\dfrac 14$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
观察分母形式，考虑裂项\begin{eqnarray*}\begin{split} \sum_{k=1}^n\dfrac{k+2}{(2k+1)(2k+3)\cdot 3^{k-1}}&=\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{1}{(2k+1)\cdot 3^{k-1}}-\dfrac{1}{(2k+3)\cdot 3^k}\right]\cdot \dfrac 34\\
&=\left[\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{(2n+3)\cdot 3^n}\right]\cdot\dfrac 34\\
&<\dfrac 14,\end{split} \end{eqnarray*}于是原不等式得证．
&=\left[\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{(2n+3)\cdot 3^n}\right]\cdot\dfrac 34\\
&<\dfrac 14,\end{split} \end{eqnarray*}于是原不等式得证．
答案
解析
备注
