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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18216 5c8776ec210b28428f14d78d 高中 解答题 自招竞赛 已知一个长方体盒子，可用单位立方体填满．如果改放尽可能多的体积为两个单位的立方体，而且使其与盒子的棱平行，则盒子的容积恰被填满 $40\%$，试求出具有此种性质的长方形盒子的容积 $(\sqrt[3]{2}=1.2599\cdots)$．（荷兰） 2022-04-17 19:24:39
18206 5d9d7208210b282710a26047 高中 解答题 自招竞赛 在 $m$ 个女孩和 $n$ 个男孩组成的群体中，任意两人要么相互认识，要么互不认识．对任意两个男孩和两个女孩，其中至少有一个男孩与一个女孩互不认识．求证：相互认识的男女孩对的个数不超过 $m+\dfrac{n(n-1)}{2}$． 2022-04-17 19:17:39
18203 5d9d73c5210b282710a26060 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $S$ 是 $\{0,1,2,\ldots,98\}$ 的 $m$ 元子集，$m\geqslant 3$，满足对任意 $x,y\in S$，均存在 $z\in S$，使得 $x+y\equiv 2z\pmod{99}$．求 $m$ 的所有可能值． 2022-04-17 19:16:39
18201 5d9d750e210b282710a2606f 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 4$ 是偶数．在正 $n$ 边形的顶点处任意方式标上 $n$ 个互不相同的实数，从某条边起按顺时针方向依次将边记为 $e_1 , e_2 , \ldots , e_n$．一条边称为"正边"，若其两个端点所标之数按顺时针方向是递增的．两条不同的边构成的无序边对 $\{e_i , e_j \}$ 称为"交错"的，若 $2|(i+j)$，且将它们四个端点上所标数按递增顺序记为 $a<b<c<d$ 后，$a,c$ 是其中一条边的两端点所标之数．求证：交错的边对的个数与正边的个数具有不同的奇偶性． 2022-04-17 19:14:39
18195 5c877fdf210b28428f14d7b0 高中 解答题 自招竞赛 试确定能否在半径为 $1$ 的圆周上存在 $1975$ 个点，其任意两点的直线距离都是有理数．（苏联） 2022-04-17 19:11:39
18175 5c8864a7210b28319b6ddc5d 高中 解答题 自招竞赛 $A,B,C$ 三人做游戏：在 $3$ 张卡片上分别写上整数 $p,q,r(0<p<q<r)$．把 $3$ 张卡片混合后分发给 $A,B,C$，每人各得一张，再按各人所得卡片上的数字，发给各人小弹子，然后，将卡片收回，弹子留给各人，如此进行了两轮以上（每轮包括混合卡片，发卡片，发弹子和收卡片）．最后一轮结束后，$A,B,C$ 分别得到的弹子总数为 $20,10,9$．已知 $B$ 在最后一轮得到 $r$ 粒弹子，问哪一个在第一轮得到 $q$ 粒弹子？（美国） 2022-04-17 19:59:38
18170 5c8864c1210b28319b6ddc68 高中 解答题 自招竞赛 把一块 $8×8$ 的国际象棋棋盘分割成 $p$ 个矩形，分割时不能割破棋盘的任何一格（即只能沿棋盘的分割线割开），并且还要满足下面两个条件：
（1）每个矩形中含有同样多的黑格和白格；
（2）如果第 $i$ 个矩形中白格数为 ${a}_{i}$，那么有 ${a}_{1}<{a}_{2}<\cdots<{a}_{p}$．
试在所有可能分法中，求出 $p$ 的最大值，并且对这个最大值 $p$ 列出所有可能的数列 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{p}$．（保加利亚）		 2022-04-17 19:57:38
18159 5c886894210b28319abba5b9 高中 解答题 自招竞赛 $O$ 是直线 $g$ 上的一点，$\overrightarrow{O{{P}_{1}}},\overrightarrow{O{{P}_{2}}},...,\overrightarrow{O{{P}_{n}}}$ 都是单位长度的向量，其中所有点 $P_i$ 都在通过 $g$ 的同一平面上，且在 $g$ 的同侧．求证：若 $n$ 为奇数，则有 $\left| \overrightarrow{O{{P}_{1}}}+\overrightarrow{O{{P}_{2}}}+...+\overrightarrow{O{{P}_{n}}} \right|\geqslant 1$，这里 $\left| \overrightarrow{OM} \right|$ 表示向量 $\overrightarrow{OM}$ 的长度．（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:51:38
18158 5c886899210b28319abba5be 高中 解答题 自招竞赛 空间中是否存在不在同一平面的有限点集 $M$，使得对 $M$ 中的任意两点 $A$ 和 $B$，我们可以在 $M$ 中另取 $C、D$ 两点，使直线 $AB$ 和 $CD$ 互相平行但不重合．（波兰） 2022-04-17 19:51:38
18149 5c886b34210b28319abba5de 高中 解答题 自招竞赛 求证：对整数 $n\geqslant 4$，每一个有外接圆的四边形，总可划分成 $n$ 个都有外接圆的四边形．（荷兰） 2022-04-17 19:46:38
18141 5c886d33210b28319abba5f8 高中 解答题 自招竞赛 设凸多面体 $P_1$ 有 $9$ 个顶点 ${A}_{1},{A}_{2},\cdots,{A}_{9}$，${P}_{i}$ 是将 $P_1$ 通过平移 ${A}_{1}\rightarrow {A}_{i}$ 得到的多面体 $(i=2,3,\cdots,9)$．试证 ${P}_{1},{P}_{2},\cdots,{P}_{9}$ 中至少有两个多面体，它们至少有一个公共内点．（苏联） 2022-04-17 19:43:38
18127 5c886d43210b28319abba604 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于每一个正整数 $m$，在平面上存在着一个有限的非空点集 $S$，具有如下的性质：对于 $S$ 中的任一点 $A$，在 $S$ 中恰好有 $m$ 个点，它们与 $A$ 的距离皆为 $1$．（保加利亚） 2022-04-17 19:36:38
18126 5c886d49210b28319b6ddca6 高中 解答题 自招竞赛 设 $A=({a}_{ij})(i,j=1,2,…,n)$ 是以非负整数为元素的正方矩阵，又设对于任何一个 ${a}_{ij}=0$，其第 $i$ 行与第 $j$ 列诸元素的和不小于 $n$，求证：这正方矩阵的所有元素之和不小于 $\dfrac{{{n}^{2}}}{2}$．（瑞典） 2022-04-17 19:35:38
18120 5c88753d210b28319b6ddcc1 高中 解答题 自招竞赛 在平面内给出了 $100$ 个点，其中没有三点在一条直线上．考察以上述点为顶点的所有可能的三角形，求证：这些三角形中至多只有 $70\%$ 的三角形是锐角三角形．（苏联） 2022-04-17 19:32:38
18101 5c889136210b286d125ef185 高中 解答题 自招竞赛 在一次中学数学竞赛中共出了 $A、B、C$ 三道试题，有 $25$ 个学生参加竞赛．每个学生至少解出其中一道题．没有解出试题 $A$ 的学生中，解出 $B$ 题 的人数等于解出 $C$ 题人数的两倍，解出 $A$ 题的学生中，只解出 $A$ 题的人数比除了解 $A$ 题之外，同时还解出其他试题的人数多 $1$．另外，只解出一道题的学生中，有一半人没解出试题 $A$，问有多少学生只解出试题 $B$？（苏联） 2022-04-17 19:22:38
18083 5c889573210b286d125ef1b4 高中 解答题 自招竞赛 在平面上给出了 $n(\geqslant 3)$ 个点，$d$ 是其中每两点之间的距离的最大值，距离等于 $d$ 的两点所成的线段叫做这 $n$ 个点所组成的点集的直径．求证：这个点集的直径不多于 $n$ 条．（波兰） 2022-04-17 19:13:38
18078 5c889c66210b286d0745405a 高中 解答题 自招竞赛 有 $17$ 位科学家，其中每一位都和其他各位科学家通信．在他们的通信中只讨论三个问题，而每一对科学家之间的通信只讨论一个问题．求证：至少有 $3$ 为科学家，他们之间互相通信所讨论的是同一问题．（匈牙利） 2022-04-17 19:10:38
18077 5c889c72210b286d0745405f 高中 解答题 自招竞赛 平面上给定 $5$ 个点，这些点两两之间的联线互不平行，又不垂直，也不重合．从每一点向其余四点两两联结所得的各直线作垂线，问这些垂线间的交点（不包括已知的 $5$ 点）最多有几个？（罗马尼亚） 2022-04-17 19:09:38
18073 5c88a0fa210b286d125ef1e4 高中 解答题 自招竞赛 五个学生 $A、B、C、D、E$ 参加某一项比赛，有两个人在猜测比赛的结果．一人的猜想的名次顺序为 $A,B,C,D,E$，结果没有猜中任何一个学生的名次，也没有猜对任何一对学生的名次是相邻的（所谓一对学生的名次是相邻的，是指其中一个的名次紧接着另一个的名次）；另一人猜想的名次顺序为 $D,A,E,C,B$，结果猜中了两个学生的名次，并且猜中了两对学生的名次是相邻的．问比赛的实际结果是怎样的？（匈牙利） 2022-04-17 19:06:38
18037 5d2e8681210b280220ed6232 高中 解答题 自招竞赛 一个有 $2019$ 名用户的社交网络，这些用户中有某些人是好友关系，这里的好友关系是 相互的．下述事件在他们之中反复发生，且一段时间内只发生一次：
有三个用户 $A,B,C$ 满足 $ A$ 是 $B$ 与 $C$ 的共同好友且 $B,C$ 间没有好友关系，在事件发生时，$B,C$ 成为好友且 $A$ 与 $B$，$C$ 均解除好友关系．其它的好友关系均保持不变．
开始时，有 $1010$ 个用户每人有 $1009$ 个好友，另外的 $1009$ 个用户每人有 $1010$ 个好友．证明：存在一个事件序列使得其发生之后每个用户至多有一个好友．（克罗地亚）		 2022-04-17 19:46:37
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