平面上给定 $5$ 个点，这些点两两之间的联线互不平行，又不垂直，也不重合．从每一点向其余四点两两联结所得的各直线作垂线，问这些垂线间的交点（不包括已知的 $5$ 点）最多有几个？（罗马尼亚）
【难度】
【出处】
1964年第06届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ 为给定的 $5$ 个点．两两之间的联线共有 $C_5^2=10$ 条，$4$ 个点两两联线共有 $C_4^2=6$ 条．于是从一个点出发课引 $6$ 条垂线，$5$ 个点共可引 $5\times 6=30$ 条垂线，它们最多有 $C_{30}^2=435$ 个交点．下面我们指出这些交点中有相同的．
考虑直线 $P_1P_2$，$P_3,P_4,P_5$ 不在这条直线上，过 $P_3,P_4,P_5$ 作 $P_1P_2$ 的垂线是互相平行的，它们互不相交，故应从总数中减去 $C_5^2\cdot C_3^2=30$ 个交点．
又从 $P_1,P_2,\cdots,P_5$ 中每一点可向其余 $4$ 点确定的 $6$ 条直线作 $6$ 条垂线，于是这 $6$ 条直线交于一点，因此 $5$ 点中每一点使总数失去 $C_6^2=15$ 个点，故应从总数中减去 $5\times 15=75$ 个点．
再因每三点构成一个三角形，共有 $C_5^3=10$ 个三角形，每个三角形的三条高交于一点，于是 $10$ 个三角形使总数减少 $10\times 2=20$ 个交点．
上面所考虑的失去的交点属于不同的类型，因而并不重复，所以，交点最多有
$\begin{aligned}
&C_{30}^2-C_5^2C_3^2-5C_6^2-C_5^3(C_3^2-1)\\
&=435-30-75-20\\
&=310(个)
\end{aligned}$
考虑直线 $P_1P_2$，$P_3,P_4,P_5$ 不在这条直线上，过 $P_3,P_4,P_5$ 作 $P_1P_2$ 的垂线是互相平行的，它们互不相交，故应从总数中减去 $C_5^2\cdot C_3^2=30$ 个交点．
又从 $P_1,P_2,\cdots,P_5$ 中每一点可向其余 $4$ 点确定的 $6$ 条直线作 $6$ 条垂线，于是这 $6$ 条直线交于一点，因此 $5$ 点中每一点使总数失去 $C_6^2=15$ 个点，故应从总数中减去 $5\times 15=75$ 个点．
再因每三点构成一个三角形，共有 $C_5^3=10$ 个三角形，每个三角形的三条高交于一点，于是 $10$ 个三角形使总数减少 $10\times 2=20$ 个交点．
上面所考虑的失去的交点属于不同的类型，因而并不重复，所以，交点最多有
$\begin{aligned}
&C_{30}^2-C_5^2C_3^2-5C_6^2-C_5^3(C_3^2-1)\\
&=435-30-75-20\\
&=310(个)
\end{aligned}$
答案
解析
备注
