求证：对于每一个正整数 $m$，在平面上存在着一个有限的非空点集 $S$，具有如下的性质：对于 $S$ 中的任一点 $A$，在 $S$ 中恰好有 $m$ 个点，它们与 $A$ 的距离皆为 $1$．（保加利亚）
【难度】
【出处】
1971年第13届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $m$ 用数学归纳法．
当 $m=1$ 时，取两个距离为 $1$ 的点，它们构成的点集满足题意，即 $m=1$ 时命题成立．
假设 $m=k$ 时命题成立，即存在点集 $S_k$，对于 $S_k$ 中的任一点 $A$，在 $S_k$ 中恰好有 $k$ 个点，它们与 $A$ 的距离皆为 $1$．
将点集 $S_k$ 平移一个单位得点集 $S_k^\prime$，但平移方向与过 $S_k$ 中任两点的联线不平行，且与以 $S_k$ 中的每一点为圆心，$1$ 为半径作圆，过这些圆的交点与圆心的联线不平行．令 $S_{k+1}=S_k\bigcup S_k^\prime(S_k\bigcap S_k^\prime= \varnothing)$，则点集 $S_{k+1}$ 中任一点 $A$，在 $S_{k+1}$ 中恰好有 $k+1$ 个点，它们与 $A$ 的距离均为 $1$．
事实上，若 $A\in S_k$，则在 $S_k$ 中恰有 $k$ 个点与它的距离为 $1$，在 $S_k^\prime$ 中恰有一点与 $A$ 的距离为 $1$，由于 $S_k\bigcap S_{k}^\prime=\varnothing$，故 $S_{k+1}$ 中恰有 $k+1$ 个点与 $A$ 的距离均为 $1$．同理，若 $A\in S_k^\prime$，则 $S_{k+1}$ 中也恰有 $k+1$ 个点与 $A$ 的距离均为 $1$．
综上，当 $m=k+1$ 时，命题也成立．
所以，对每一个正整数 $m$，命题也成立．
当 $m=1$ 时，取两个距离为 $1$ 的点，它们构成的点集满足题意，即 $m=1$ 时命题成立．
假设 $m=k$ 时命题成立，即存在点集 $S_k$，对于 $S_k$ 中的任一点 $A$，在 $S_k$ 中恰好有 $k$ 个点，它们与 $A$ 的距离皆为 $1$．
将点集 $S_k$ 平移一个单位得点集 $S_k^\prime$，但平移方向与过 $S_k$ 中任两点的联线不平行，且与以 $S_k$ 中的每一点为圆心，$1$ 为半径作圆，过这些圆的交点与圆心的联线不平行．令 $S_{k+1}=S_k\bigcup S_k^\prime(S_k\bigcap S_k^\prime= \varnothing)$，则点集 $S_{k+1}$ 中任一点 $A$，在 $S_{k+1}$ 中恰好有 $k+1$ 个点，它们与 $A$ 的距离均为 $1$．
事实上，若 $A\in S_k$，则在 $S_k$ 中恰有 $k$ 个点与它的距离为 $1$，在 $S_k^\prime$ 中恰有一点与 $A$ 的距离为 $1$，由于 $S_k\bigcap S_{k}^\prime=\varnothing$，故 $S_{k+1}$ 中恰有 $k+1$ 个点与 $A$ 的距离均为 $1$．同理，若 $A\in S_k^\prime$，则 $S_{k+1}$ 中也恰有 $k+1$ 个点与 $A$ 的距离均为 $1$．
综上，当 $m=k+1$ 时，命题也成立．
所以，对每一个正整数 $m$，命题也成立．
答案
解析
备注
