设集合 $S$ 是 $\{0,1,2,\ldots,98\}$ 的 $m$ 元子集，$m\geqslant 3$，满足对任意 $x,y\in S$，均存在 $z\in S$，使得 $x+y\equiv 2z\pmod{99}$．求 $m$ 的所有可能值．
【难度】
【出处】
2013第12届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $S=\{s_1 , s_2 , \ldots , s_m \}$．由于 $S'=\{0,s_2 - s_1 ,\ldots ,s_m - s_1\}$ 也满足题设，故不妨设 $0\in S$．
由题设可知，对任意 $x,y\in S$，$50(x+y)\equiv z\pmod{99}\in S$．
特别，对任意 $x\in S$，$50x \in S$．由 $50$ 与 $99$ 互素，根据抽屉原理或根据Euler定理，存在正整数 $k$ 使得 $50^k \equiv 1 \pmod{99}$，从而
$
x+y \equiv 50^{k}(x+y)(\bmod 99) \in S
$
设 $d=\text{gcd}(99,s_1 ,s_2 ,\ldots,s_m )$，则由上面的结论及Bezout定理，知 $d\in S$，从而 $S=\{0,d,2d,\ldots\}$ 对 $99$ 的任意正因子 $d<99$，上述集合S满足题设．
故 $m$ 的所有可能值为 $3,9,11,33,99$．
由题设可知，对任意 $x,y\in S$，$50(x+y)\equiv z\pmod{99}\in S$．
特别，对任意 $x\in S$，$50x \in S$．由 $50$ 与 $99$ 互素，根据抽屉原理或根据Euler定理，存在正整数 $k$ 使得 $50^k \equiv 1 \pmod{99}$，从而
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x+y \equiv 50^{k}(x+y)(\bmod 99) \in S
$
设 $d=\text{gcd}(99,s_1 ,s_2 ,\ldots,s_m )$，则由上面的结论及Bezout定理，知 $d\in S$，从而 $S=\{0,d,2d,\ldots\}$ 对 $99$ 的任意正因子 $d<99$，上述集合S满足题设．
故 $m$ 的所有可能值为 $3,9,11,33,99$．
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