设凸多面体 $P_1$ 有 $9$ 个顶点 ${A}_{1},{A}_{2},\cdots,{A}_{9}$，${P}_{i}$ 是将 $P_1$ 通过平移 ${A}_{1}\rightarrow {A}_{i}$ 得到的多面体 $(i=2,3,\cdots,9)$．试证 ${P}_{1},{P}_{2},\cdots,{P}_{9}$ 中至少有两个多面体，它们至少有一个公共内点．（苏联）
【难度】
【出处】
1971年第13届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
建立空间直角坐标系，以 $A_1$ 为坐标原点，令 $\overrightarrow{A_1B_i}=2\overrightarrow{A_1A_i},i=2,3,\cdots,9$．
把多面体 $A_1B_2B_3\cdots B_9$ 记为 $D$，即 $D$ 是由 $P_1$ 放大 $2$ 倍得到的多面体，它的体积是 $P_1$ 的 $8$ 倍，且 $D$ 包含 $P_1$．
设 $Q_i$ 是多面体 $P_i(i=2,\cdots,9)$ 内的一点，它与 $P_1$ 中对应的点为 $Q_1$，则 $\overrightarrow{A_1Q_i}=\overrightarrow{A_1Q_1}+\overrightarrow{A_1A_i}=2\cdot\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A_1Q_1}+\overrightarrow{A_1A_i})$，因为 $Q_1$ 与 $A_i$ 均在凸多面体 $P_i$ 内，故 $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A_1Q_1}+\overrightarrow{A_1A_i})$ 也在凸多面体 $P_1$ 内，从而 $\overrightarrow{A_1Q_i}$ 在凸多面体 $D$ 内，即点 $Q_i$ 在 $D$ 内．
从上可知，$D$ 包含了多面体 $P_2,P_3,\cdots,P_9$．由于 $D$ 包含了 $P_1$ 与由 $P_1$ 平移得到的 $P_2,P_3,\cdots,P_9$，且 $D$ 的体积是 $P_1$ 的 $8$ 倍，所以，这 $9$ 个多面体 $P_1,P_2,\cdots,P_9$ 中至少有两个，它们有公共点．
把多面体 $A_1B_2B_3\cdots B_9$ 记为 $D$，即 $D$ 是由 $P_1$ 放大 $2$ 倍得到的多面体，它的体积是 $P_1$ 的 $8$ 倍，且 $D$ 包含 $P_1$．
设 $Q_i$ 是多面体 $P_i(i=2,\cdots,9)$ 内的一点，它与 $P_1$ 中对应的点为 $Q_1$，则 $\overrightarrow{A_1Q_i}=\overrightarrow{A_1Q_1}+\overrightarrow{A_1A_i}=2\cdot\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A_1Q_1}+\overrightarrow{A_1A_i})$，因为 $Q_1$ 与 $A_i$ 均在凸多面体 $P_i$ 内，故 $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A_1Q_1}+\overrightarrow{A_1A_i})$ 也在凸多面体 $P_1$ 内，从而 $\overrightarrow{A_1Q_i}$ 在凸多面体 $D$ 内，即点 $Q_i$ 在 $D$ 内．
从上可知，$D$ 包含了多面体 $P_2,P_3,\cdots,P_9$．由于 $D$ 包含了 $P_1$ 与由 $P_1$ 平移得到的 $P_2,P_3,\cdots,P_9$，且 $D$ 的体积是 $P_1$ 的 $8$ 倍，所以，这 $9$ 个多面体 $P_1,P_2,\cdots,P_9$ 中至少有两个，它们有公共点．
答案
解析
备注
