$A,B,C$ 三人做游戏：在 $3$ 张卡片上分别写上整数 $p,q,r(0<p<q<r)$．把 $3$ 张卡片混合后分发给 $A,B,C$，每人各得一张，再按各人所得卡片上的数字，发给各人小弹子，然后，将卡片收回，弹子留给各人，如此进行了两轮以上（每轮包括混合卡片，发卡片，发弹子和收卡片）．最后一轮结束后，$A,B,C$ 分别得到的弹子总数为 $20,10,9$．已知 $B$ 在最后一轮得到 $r$ 粒弹子，问哪一个在第一轮得到 $q$ 粒弹子？（美国）
【难度】
【出处】
1974年第16届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设游戏共进行了 $n$ 轮，则 $n(p+q+r)=20+10+9=39=3\times 13$，又由题设，$n\geqslant 2,p+q+r\geqslant 1+2+3=6$，所以 $n=3,p+q+r=13$．
因为 $r\leqslant 10-1-1=8,3r>20$，即 $r\geqslant 7$，所以 $r=7$ 或 $8$．
若 $r=7$，则 $p+q=6$，且前两轮所得弹子数之和为 $3$，所以 $2p\leqslant 3,p<2$，故 $p=1,q=5$，这时 $B$ 前两轮所得弹子数不可能为 $3$．
若 $r=8$，则 $p+q=5$，且 $B$ 前两轮所得弹子数之和为 $2$，故 $2p\leqslant 2$，从而 $p=1,q=4$．
对于 $A$，有 $20\leqslant 2r+q=20$，所以 $A$ 三轮所得的弹子数为 $8,8,4$，且第一，二轮所得弹子数为 $8$，第三轮所得弹子数 $4$，从而 $C$ 第一轮得弹子数 $4$．
因为 $r\leqslant 10-1-1=8,3r>20$，即 $r\geqslant 7$，所以 $r=7$ 或 $8$．
若 $r=7$，则 $p+q=6$，且前两轮所得弹子数之和为 $3$，所以 $2p\leqslant 3,p<2$，故 $p=1,q=5$，这时 $B$ 前两轮所得弹子数不可能为 $3$．
若 $r=8$，则 $p+q=5$，且 $B$ 前两轮所得弹子数之和为 $2$，故 $2p\leqslant 2$，从而 $p=1,q=4$．
对于 $A$，有 $20\leqslant 2r+q=20$，所以 $A$ 三轮所得的弹子数为 $8,8,4$，且第一，二轮所得弹子数为 $8$，第三轮所得弹子数 $4$，从而 $C$ 第一轮得弹子数 $4$．
答案
解析
备注
