把一块 $8×8$ 的国际象棋棋盘分割成 $p$ 个矩形，分割时不能割破棋盘的任何一格（即只能沿棋盘的分割线割开），并且还要满足下面两个条件：
（1）每个矩形中含有同样多的黑格和白格；
（2）如果第 $i$ 个矩形中白格数为 ${a}_{i}$，那么有 ${a}_{1}<{a}_{2}<\cdots<{a}_{p}$．
试在所有可能分法中，求出 $p$ 的最大值，并且对这个最大值 $p$ 列出所有可能的数列 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{p}$．（保加利亚）
（1）每个矩形中含有同样多的黑格和白格；
（2）如果第 $i$ 个矩形中白格数为 ${a}_{i}$，那么有 ${a}_{1}<{a}_{2}<\cdots<{a}_{p}$．
试在所有可能分法中，求出 $p$ 的最大值，并且对这个最大值 $p$ 列出所有可能的数列 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{p}$．（保加利亚）
【难度】
【出处】
1974年第16届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为棋盘有 $32$ 个白方格，所以 $a_1+a_2+\cdots+a_p=32$．
由（2），$a_1\geqslant 1,a_2\geqslant 2,\cdots,a_p\geqslant p$，所以 $1+2+\cdots+p\leqslant 32$，$p^2+p\leqslant 64$，故 $p\leqslant 7$．即至多分割成 $7$ 个满足题意的矩形．
当 $p=7$ 时，有如下五种可能的组合：\begin{array} &&a_1 & a_2 & a_3&a_4&a_5&a_6&a_7 \\(1)&1&2&3&4&5&6&11\\(2)&1&2&3&4&5&7&10\\(3)&1&2&3&4&5&8&9\\(4)&1&2&3&4&6&7&9\\(5)&1&2&3&5&6&7&8\end{array}第一种组合是不可能在棋盘上实现的，因为棋盘上不可能分割出 $22$ 格的矩形．所有其他的情况都是可能的，具体的分法如下图所示（图中的数字表示该块含方格数）．
由（2），$a_1\geqslant 1,a_2\geqslant 2,\cdots,a_p\geqslant p$，所以 $1+2+\cdots+p\leqslant 32$，$p^2+p\leqslant 64$，故 $p\leqslant 7$．即至多分割成 $7$ 个满足题意的矩形．
当 $p=7$ 时，有如下五种可能的组合：\begin{array} &&a_1 & a_2 & a_3&a_4&a_5&a_6&a_7 \\(1)&1&2&3&4&5&6&11\\(2)&1&2&3&4&5&7&10\\(3)&1&2&3&4&5&8&9\\(4)&1&2&3&4&6&7&9\\(5)&1&2&3&5&6&7&8\end{array}第一种组合是不可能在棋盘上实现的，因为棋盘上不可能分割出 $22$ 格的矩形．所有其他的情况都是可能的，具体的分法如下图所示（图中的数字表示该块含方格数）．
答案
解析
备注
