已知一个长方体盒子，可用单位立方体填满．如果改放尽可能多的体积为两个单位的立方体，而且使其与盒子的棱平行，则盒子的容积恰被填满 $40\%$，试求出具有此种性质的长方形盒子的容积 $(\sqrt[3]{2}=1.2599\cdots)$．（荷兰）
【难度】
【出处】
1976年第18届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设长方体的盒子的棱长为正整数 $a_1\leqslant a_2\leqslant a_3$，令 $b_i=\left[\dfrac{a_i}{\sqrt[3]{2}}\right],i=1,2,3$．由题设知 $40\%\cdot a_1a_2a_3=2b_1b_2b_3$，即 $\dfrac{a_1a_2a_3}{b_1b_2b_3}=5$ ①
将 $a,b,\dfrac{a}{b}$ 的值列表如下（其中 $\left[\dfrac{a_i}{\sqrt[3]{2}}\right]$）：
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
a&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline
b&1&2&3&3&4&5&6&7&7\\\hline
\frac{a}{b}&2&1.5&1.3&1.6&1.5&1.4&1.3&1.23&1.42\\\hline
\end{array}$
当 $a>10$ 时，$b\geqslant\left[\dfrac{11}{\sqrt[3]{2}}\right]=8$，所以
$\begin{aligned}
\dfrac{a}{b}&=\dfrac{a}{\left[\frac{a}{\sqrt[3]{2}}\right]}<\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\left[\frac{a}{\sqrt[3]{2}}\right]}\left(\left[\frac{a}{\sqrt[3]{2}}\right]+1\right)\\
& =\sqrt[3]{2}\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\leqslant \sqrt[3]{2}\left(1+\dfrac{1}{8}\right)\\
&<1.42
\end{aligned}$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^3<1.42^3<5$．
若 $a_1>2$，则 $\dfrac{a_1a_2a_3}{b_1b_2b_3}<\left(\dfrac{5}{3}\right)^3<5$，不可能，所以 $a_1=2$．
若 $a_1=a_2=2$，则由 ①，$\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{5}{4}<\sqrt[3]{2}$，不可能．
若 $a_1=2,a_2\geqslant 6$，则 $\dfrac{a_2a_3}{b_2b_3}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2<\dfrac{5}{2}$，与 ① 矛盾．故 $3\leqslant a_2\leqslant 5$．
若 $a_1=2,a_2=3$ 时，则 $\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{5}{3}$，于是 $a_3=5$．
若 $a_1=2,a_2=4$ 时，则 $\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{15}{8}$，不可能．
若 $a_1=2,a_2=5$ 时，则 $\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{3}{2}$，仅当 $a_3=6$ 时成立．
综上所述，盒子的尺寸只能是 $2\times 3\times 5$ 和 $2\times 5\times 6$ 两种．
将 $a,b,\dfrac{a}{b}$ 的值列表如下（其中 $\left[\dfrac{a_i}{\sqrt[3]{2}}\right]$）：
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
a&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline
b&1&2&3&3&4&5&6&7&7\\\hline
\frac{a}{b}&2&1.5&1.3&1.6&1.5&1.4&1.3&1.23&1.42\\\hline
\end{array}$
当 $a>10$ 时，$b\geqslant\left[\dfrac{11}{\sqrt[3]{2}}\right]=8$，所以
$\begin{aligned}
\dfrac{a}{b}&=\dfrac{a}{\left[\frac{a}{\sqrt[3]{2}}\right]}<\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\left[\frac{a}{\sqrt[3]{2}}\right]}\left(\left[\frac{a}{\sqrt[3]{2}}\right]+1\right)\\
& =\sqrt[3]{2}\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\leqslant \sqrt[3]{2}\left(1+\dfrac{1}{8}\right)\\
&<1.42
\end{aligned}$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^3<1.42^3<5$．
若 $a_1>2$，则 $\dfrac{a_1a_2a_3}{b_1b_2b_3}<\left(\dfrac{5}{3}\right)^3<5$，不可能，所以 $a_1=2$．
若 $a_1=a_2=2$，则由 ①，$\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{5}{4}<\sqrt[3]{2}$，不可能．
若 $a_1=2,a_2\geqslant 6$，则 $\dfrac{a_2a_3}{b_2b_3}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2<\dfrac{5}{2}$，与 ① 矛盾．故 $3\leqslant a_2\leqslant 5$．
若 $a_1=2,a_2=3$ 时，则 $\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{5}{3}$，于是 $a_3=5$．
若 $a_1=2,a_2=4$ 时，则 $\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{15}{8}$，不可能．
若 $a_1=2,a_2=5$ 时，则 $\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{3}{2}$，仅当 $a_3=6$ 时成立．
综上所述，盒子的尺寸只能是 $2\times 3\times 5$ 和 $2\times 5\times 6$ 两种．
答案
解析
备注
