在一次中学数学竞赛中共出了 $A、B、C$ 三道试题，有 $25$ 个学生参加竞赛．每个学生至少解出其中一道题．没有解出试题 $A$ 的学生中，解出 $B$ 题 的人数等于解出 $C$ 题人数的两倍，解出 $A$ 题的学生中，只解出 $A$ 题的人数比除了解 $A$ 题之外，同时还解出其他试题的人数多 $1$．另外，只解出一道题的学生中，有一半人没解出试题 $A$，问有多少学生只解出试题 $B$？（苏联）
【难度】
【出处】
1966年第08届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $x_A,x_B,x_C,x_{AB},x_{BC},x_{CA},x_{ABC}$ 分别表示只解出下标所表明的问题的学生人数，依题意有 $x_A+x_B+x_C+x_{AB}+x_{BC}+x_{CA}+x_{ABC}=25$ ①
在没有解出 $A$ 的学生 $x_B+x_C+x_{BC}$ 中，$x_B+x_{BC}$ 为解出 $B$ 的人数，$x_C+x_{BC}$ 为解出 $C$ 的人数，由题意知 $x_B+x_{BC}=2(x_C+x_{BC})$，即 $x_B-2x_C-x_{BC}=0$．②
只解出 $A$ 题的人数 $x_A$，而解出 $A$ 题又至少解出另一题的人数是 $x_{AB}+x_{AC}+x_{ABC}$，于是 $x_A=x_{AB}+x_{AC}+x_{ABC}+1$．③
只解出一道题的学生中，有一半人没解出试题 $A$，所以 $x_A=x_B+x_{C}$．④
① + ③ + ④，得 $3x_A+x_{BC}=26$，⑤
所以，$x_A\leqslant 8$．
由，②，④，⑤，得 $x_A+3x_B=26,x_B=\dfrac{26-x_A}{3}$，
所以 $x_A=2,5,8$．
当 $x_A=2$ 时，$x_B=8$，与 ④ 矛盾．
当 $x_A=5$ 时，$x_B=7$，与 ④ 矛盾．
当 $x_A=8$ 时，$x_B=6$，满足题意．
所以，只解出 $B$ 题的有 $6$ 个学生．
在没有解出 $A$ 的学生 $x_B+x_C+x_{BC}$ 中，$x_B+x_{BC}$ 为解出 $B$ 的人数，$x_C+x_{BC}$ 为解出 $C$ 的人数，由题意知 $x_B+x_{BC}=2(x_C+x_{BC})$，即 $x_B-2x_C-x_{BC}=0$．②
只解出 $A$ 题的人数 $x_A$，而解出 $A$ 题又至少解出另一题的人数是 $x_{AB}+x_{AC}+x_{ABC}$，于是 $x_A=x_{AB}+x_{AC}+x_{ABC}+1$．③
只解出一道题的学生中，有一半人没解出试题 $A$，所以 $x_A=x_B+x_{C}$．④
① + ③ + ④，得 $3x_A+x_{BC}=26$，⑤
所以，$x_A\leqslant 8$．
由，②，④，⑤，得 $x_A+3x_B=26,x_B=\dfrac{26-x_A}{3}$，
所以 $x_A=2,5,8$．
当 $x_A=2$ 时，$x_B=8$，与 ④ 矛盾．
当 $x_A=5$ 时，$x_B=7$，与 ④ 矛盾．
当 $x_A=8$ 时，$x_B=6$，满足题意．
所以，只解出 $B$ 题的有 $6$ 个学生．
答案
解析
备注
