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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19491 5d2e88ee210b28021fc78784 高中 解答题 自招竞赛 设凸四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$，$AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$．
证明：对 $a,b,c,d$ 的任意一个排列 $x,y,z,w$，有 $S\leqslant\dfrac{1}{2}(xy+zw)$		 2022-04-17 19:04:51
19485 5d2eab1b210b280220ed6296 高中 解答题 自招竞赛 如图$AB$ 是半圆 $O$ 的直径，$C,D$ 是 $AB$ 上两点，$P,Q$ 分别是 $\triangle OAC$ 与 $\triangle OBD$ 的外心．证明：$CP\cdot CQ=DP\cdot DQ$． 2022-04-17 19:00:51
19480 5d2ecaa4210b28021fc78819 高中 解答题 自招竞赛 平面上，点 $O$ 是正三角形 $ABC$ 的中心，点 $P,Q$ 满足 $\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{PO}$．
证明：$|P A|+|P B|+|P C| \leqslant|Q A|+|Q B|+|Q C|$		 2022-04-17 19:57:50
19473 5d2ed902210b280220ed633a 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，点 $B_2$ 是 $AC$ 边上旁切圆圆心 $B_1$ 关于 $AC$ 中点的对称点，点 $C_2$ 是 $AB$ 边上旁切圆圆心 $C_1$ 关于 $AB$ 中点的对称点，$BC$ 边上旁切圆切 $BC$ 边于点 $D$．
求证：$AD\perp B_2 C_2$．		 2022-04-17 19:54:50
19470 5d2ee873210b280220ed6379 高中 解答题 自招竞赛 如图$PA,PB$ 为圆 $O$ 的切线，点 $C$ 在劣弧 $\overparen{AB}$ 上（不含点 $A,B$）．过点 $C$ 作 $PC$ 的垂线 $l$，与 $\angle AOC$ 的平分线交于点 $D$，与 $\angle BOC$ 的平分线交于点 $E$．求证：$CD=CE$． 2022-04-17 19:52:50
19459 5d304df3210b280220ed649b 高中 解答题 自招竞赛 在锐角 $\triangle ABC$ 中，$H$ 是垂心，$O$ 是外心（$A,H,O$ 三点不共线），点 $D$ 是 $A$ 在边 $BC$ 上的射影，线段 $AO$ 的中垂线交直线 $BC$ 于点 $E$．
求证：线段 $OH$ 的中点在 $\triangle ADE$ 的外接圆上．		 2022-04-17 19:47:50
19454 5d315064210b28021fc78962 高中 解答题 自招竞赛 如图线段 $AB、CD$ 是 $\odot O$ 中长度不相等的两条弦，$AB$ 与 $CD$ 的交点为 $E$，$\odot I$ 内切 $\odot O$ 于点 $F$，且分别与弦相切于点 $G、H$．过点 $O$ 的直线分别交 $AB、CD$ 于点 $P、Q$，使得 $EP= EQ$．直线 $EF$ 与直线 $ l$ 交于点 $M$，求证：过点 $M$ 且与 $AB$ 平行的直线是 $\odot O$ 的切线． 2022-04-17 19:46:50
19451 5d316109210b28021fc78980 高中 解答题 自招竞赛 如图在 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，内切圆 $\odot I$ 与边 $BC、CA、AB$ 分别相切于点 $D、E,F,M$ 是边 $BC$ 的中点，$AH\bot BC$ 于点 $H$．$\angle BAC$ 的平分线 $AI$ 分别与直线 $DE、DF$ 交于点 $K、L$．求证：$M、L、H、K$ 四点共圆． 2022-04-17 19:44:50
19444 5d351c3c210b28021fc789a4 高中 解答题 自招竞赛 如图 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C,D$ 是圆周上异于 $A、B$ 且在 $AB$ 同侧 的两点，分别过点 $C、D$ 作圆的切线，它们相交于点 $E$，线段 $AD$ 与 $BC$ 的交点为 $F$，直线 $EF$ 与 $AB$ 相交于点 $M$，求证：$E,C,M,D$ 四点共圆． 2022-04-17 19:40:50
19440 5d353380210b280220ed65da 高中 解答题 自招竞赛 如图在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$．以 $B$ 为圆心、$BC$ 为半径作圆，点 $D$ 在 边 $AC$ 上，直线 $DE$ 切 $\odot B$ 于点 $E$．过点 $C$ 垂直于 $AB$ 的直线与直线 $BE$ 交于点 $F$，$AF$ 交 $DE$ 于点 $G$，作 $AH\parallel BG$ 交 $DE$ 于点 $H$．求证：$GE= GH$． 2022-04-17 19:37:50
19427 5d356593210b280220ed6652 高中 解答题 自招竞赛 设 $H$ 为锐角 $\triangle ABC$ 的垂心，$D$ 为边 $BC$ 的中点．过点 $H$ 的直线分别交边 $AB、AC$ 于点 $F、E$，使得 $AE=AF$．射线 $DH$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于点 $P$．
求证：$P,A,E,F$ 四点共圆．		 2022-04-17 19:30:50
19424 5d366ad4210b28021fc78a69 高中 解答题 自招竞赛 设点 $D$ 是锐角 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上一点，以线段 $BD$ 为直径的圆分别交 直线 $AB、AD$ 于点 $X、P$（异于点 $B、D$），以线段 $CD$ 为直径的圆分别交直线 $AC、AD$ 于点 $Y、Q$（异于点 $C、D$）．过 $B$ 点 $A$ 作直线 $PX、QY$ 的垂线，垂足分 别为 $M、N$．
求证：$\triangle AMN\sim \triangle AB C$ 的充分必要条件是直线 $ AD$ 过 $\triangle ABC$ 的外心．		 2022-04-17 19:28:50
19420 5d367908210b280220ed66fb 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，其内切圆 $\odot I$ 切边 $BC、CA、AB$ 于点 $D、E,F,P$ 为弧 $EF$（不含点 $D$ 的弧）上一点．设线段 $BP$ 交 $\odot I$ 于另一点 $Q$，直线 $EP、EQ$ 分别交直线 $BC$ 于点 $M、N$ 证明：
（1）$P、F,B、M$ 四点共圆；
（2）$\dfrac{EM}{EN}=\dfrac{BD}{BP}$．		 2022-04-17 19:26:50
19403 5d36b1d2210b280220ed677f 高中 解答题 自招竞赛 如图在 $\triangle PBC$ 中，$\angle PBC = 60^\circ$，过点 $P$ 作 $\triangle PBC$ 的外接圆 $\omega$ 的切线，与 $CB$ 的延长线交于点 $A$．点 $D$ 和 $E$ 分别在线段 $PA$ 和圆 $\omega$ 上，使得 $\angle D B E=90^{\circ}, P D=P E$．连接 $BE$，与 $PC$ 相交于点 $F$．已知 $AF、BP、CD$ 三线共点．
（1）求证：$BF$ 是 $\angle PBC$ 的角平分线；
（2）求 $\tan\angle PCB$ 的值．		 2022-04-17 19:16:50
19400 5d37c07c210b280220ed67d0 高中 解答题 自招竞赛 如图$AB$ 是圆 $O$ 的直径，$C$ 为 $AB$ 延长线上的一点，过点 $C$ 作圆 $O$ 的割线，与圆 $O$ 交于 $D、E$ 两点，$OF$ 是 $\triangle BOD$ 的外接圆 $O_1$ 的直径，连接 $ CF$ 并延长交圆 $O_1$ 于点 $G$．求证：$O、A、E,G$ 四点共圆． 2022-04-17 19:15:50
19396 5d37d155210b280220ed6816 高中 解答题 自招竞赛 如图$\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 相交于点 $C、D$，过点 $D$ 的一条直线分别与 $\odot O_1,\odot O_2$ 相交于点 $A、B$，点 $P$ 在 $\odot O_1$ 的弧 $AD$ 上，$PD$ 与线段 $AC$ 的延长线交于点 $M$，点 $Q$ 在 $\odot O_2$ 的弧 $BD$ 上，$QD$ 与线段 $BC$ 的延长线交于点 $N$．$O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心．求证：$OD\bot MN$ 的充要条件为 $P,Q,M,N$ 四点共圆． 2022-04-17 19:12:50
19394 5d37eb8d210b280220ed6842 高中 解答题 自招竞赛 设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 内部一点证明：存在正整数 $p、q、r$ 使得 $|p \cdot \overrightarrow{O A}+q \cdot \overrightarrow{O B}+r \cdot \overrightarrow{O C}|<\dfrac{1}{2007}$． 2022-04-17 19:11:50
19393 5d37fb34210b28021fc78bb8 高中 解答题 自招竞赛 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为 $2007$，且最大的角等于最小角的两倍？ 2022-04-17 19:11:50
19391 5d3801bd210b280220ed6881 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 是锐角三角形 $ABC$ 内一点，$AP、BP、CP$ 分别交边 $BC、CA、AB$ 于点 $D,E,F$，已知 $\triangle D E F \sim \triangle A B C$．求证：$P$ 是 $\triangle ABC$ 的重心． 2022-04-17 19:10:50
19387 5d38388e210b280220ed68e4 高中 解答题 自招竞赛 如图过圆外一点 $P$ 作圆的两条切线 $PA,PB,A,B$ 为切点，再过点 $P$ 作圆的一条割线分别交圆于 $C、D$ 两点，过切点 $B$ 作 $PA$ 的平行线分别交直线 $AC、AD$ 于 $E,F$．求证：$BE= BF$． 2022-04-17 19:08:50
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