是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为 $2007$，且最大的角等于最小角的两倍？
【难度】
【出处】
2007年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
不存在这样的三角形，证明如下：
不妨设 $\angle A\leqslant\angle B\leqslant\angle C$，则 $\angle C=2\angle A$，且 $a=2 007$．过 $C$ 作 $\angle ACB$ 的内角平分线 $CD$，则 $\angle BCD=\angle A$，结合 $\angle B=\angle B$．可知 $\triangle CDB\sim\triangle ACB$．所以，$\dfrac{C B}{A B}=\dfrac{B D}{B C}=\dfrac{C D}{A C}=\dfrac{B D+C D}{B C+A C}=\dfrac{B D+A D}{B C+A C}=\dfrac{A B}{B C+A C}$，即 $c^{2}=a(a+b)=2007(2007+b)$，这里 $2007\leqslant b \leqslant c < 2 007 + b$．
由 $a、b、c$ 都是正整数可知 $2007 | c^2$，故 $3\cdot 223| c$，可设 $c= 669m$，则 $223m^2= 2 007 +b$，即 $b= 223m^2-2007$，结合 $2007\leqslant b$，可得 $m\geqslant 5$．
另一方面，由于 $c\geqslant b$，得 $669m\geqslant 223m^2—2 007$，这要求 $m<5$，矛盾！因此，满足条件的三角形不存在．
不妨设 $\angle A\leqslant\angle B\leqslant\angle C$，则 $\angle C=2\angle A$，且 $a=2 007$．过 $C$ 作 $\angle ACB$ 的内角平分线 $CD$，则 $\angle BCD=\angle A$，结合 $\angle B=\angle B$．可知 $\triangle CDB\sim\triangle ACB$．所以，$\dfrac{C B}{A B}=\dfrac{B D}{B C}=\dfrac{C D}{A C}=\dfrac{B D+C D}{B C+A C}=\dfrac{B D+A D}{B C+A C}=\dfrac{A B}{B C+A C}$，即 $c^{2}=a(a+b)=2007(2007+b)$，这里 $2007\leqslant b \leqslant c < 2 007 + b$．
由 $a、b、c$ 都是正整数可知 $2007 | c^2$，故 $3\cdot 223| c$，可设 $c= 669m$，则 $223m^2= 2 007 +b$，即 $b= 223m^2-2007$，结合 $2007\leqslant b$，可得 $m\geqslant 5$．
另一方面，由于 $c\geqslant b$，得 $669m\geqslant 223m^2—2 007$，这要求 $m<5$，矛盾！因此，满足条件的三角形不存在．
答案
解析
备注
