2007年中国西部数学奥林匹克试题

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  二试几何部分

略

证法一
先证一个引理：设 $\alpha,\beta$ 都是正实数，$N$ 是任意一个大于 $\max \left\{\dfrac{1}{\alpha}, \dfrac{1}{\beta}\right\}$ 的整数，则存在正整数 $p_1, p_{2}$ 和 $ q$，使得 $1 \leqslant q \leqslant N^{2}$，且 $\left|q \alpha-p_{1}\right|<\dfrac{1}{N}$ 和 $\left|q \beta-p_{2}\right|<\dfrac{1}{N}$ 同时成立．
引理的证明：考虑平面 $N^{2}+1$ 个点组成的集合 $T=\left\{(\epsilon\{i \alpha\},\{i \beta\}) | i=0,1, \cdots, N^{2}\right\}$，这里 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，$\{x\}=x-[x]$．
现在将正方形点集 $\{(x, y) | 0 \leqslant x, y<1\}$ 沿平行于坐标轴的直线分割为 $N^2$ 个小正方形（这里的每个正方形都不含右边和上边的两条边），则 $T$ 中必有两点落在同一个小正方形内，即存在 $0\leqslant j <i\leqslant N^2$，使得 $|\{i \alpha\}-\{j \alpha\}|<\dfrac{1}{N},|\{i \beta\}-\{j \beta\}|<\dfrac{1}{N}$
令 $q=i-j, p_{1}=\left[i \alpha_{-}\right]-[j \alpha], p_{2}=[i \beta]-[j \beta]$
则 $\left|q \alpha-p_{1}\right|<\dfrac{1}{N},\left|q \beta-p_{2}\right|<\dfrac{1}{N}$．
如果 $p_1\leqslant 0$，那么 $\dfrac{1}{N}>|q \alpha| \geqslant \alpha$，与 $N$ 的选择矛盾，故 $p_1$ 为正整数．同理 $p_2$ 也是正整数．引理获证．
回到原题，由条件知存在正实数 $\alpha,\beta$ 使得 $\alpha \overrightarrow{O A}+\beta \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=0$，利用引理的结论知对任意大于 $\max \left\{\dfrac{1}{\alpha}, \dfrac{1}{\beta}\right\}$ 的正整数 $N$，存在正整数 $p_1, p_{2}$ 和 $ q$，
使得 $\left|q \alpha-p_{1}\right|<\dfrac{1}{N}$ 和 $\left|q\beta-p_{2}\right|<\dfrac{1}{N}$ 同时成立，于是，由 $q \alpha \overrightarrow{O A}+{q} \beta \overrightarrow{O B}+q \overrightarrow{O C}=0$ 可得
$\left|p_{1} \overrightarrow{O A}+p_{2} \overrightarrow{O B}+{q} \overrightarrow{O C}\right|=\left|\left(p_{1}-q \alpha\right) \overrightarrow{O A}+\left(p_{2}-q \beta\right) \overrightarrow{O B}\right|\leqslant\left|\left(p_{1}-q \alpha\right) \overrightarrow{O A}\right|+\left|\left(p_{2}-q \beta\right) \overrightarrow{O B}\right|<\dfrac{1}{N}(|\overrightarrow{O A}|+|\overrightarrow{O B}|)$
取 $N$ 充分大即可知命题成立．
证法二
由条件可知存在正实数 $\beta,\gamma$ 使得 $\overrightarrow{O A}+\beta \overrightarrow{O B}+\gamma \overrightarrow{O C}=0$，于是对任意正整数 $k$，都有 $k\overrightarrow{O A}+k \overrightarrow{\beta B}+k \gamma \overrightarrow{O C}=\mathbf{0}$，记 $m(k)=[k \beta], n(k)=[k \gamma]$，这里 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，$\{x\}=x-[x]$ $\{x\}=x-[x]$．
利用 $\beta, \gamma$ 都是正实数可知 $m(k T)$ 与 $n(k T)$ 都是关于正整数 $k$ 的严格递增数列，这里 $T$ 是某个大于 $\max \left\{\dfrac{1}{\beta}, \dfrac{1}{\gamma}\right\}$ 的正整数．因此，
$\begin{aligned}|k T \overrightarrow{O A}+m(k T) \overrightarrow{O B}+n(k T) \overrightarrow{O C}| &=|-\{k T \beta\} \overrightarrow{O B}-\{k T \gamma\} \overrightarrow{O C}| \leqslant\{k T \beta\}|\overrightarrow{O B}|+\{k T \gamma\}|\overrightarrow{O C}| \leqslant|\overrightarrow{O B}|+|\overrightarrow{O C}| \end{aligned}$
这表明有无穷多个向量 $k T \overrightarrow{O A}+m(k T) \overrightarrow{O B}+n(k T) \overrightarrow{O C}$ 的终点落在一个以 $O$ 为圆心，$|\overrightarrow{O B}|+|\overrightarrow{O C}|$ 为半径的圆内，因此，其中必有两个向量的终点之间的距离小于 $\dfrac{1}{2007}$，也就是说，这两个向量的差的模长小于 $\dfrac{1}{2007}$．即存在正整数 $k_1＜k_2$，使得 $\left|\left(k_{2} T \overrightarrow{O A}+m\left(k_{2} T\right) \overrightarrow{O B}+n\left(k_{2} T\right) \overrightarrow{O C}\right)-\left(k_{1} T \overrightarrow{O A}+m\left(k_{1} T\right) \overrightarrow{O B}+n\left(k_{1} T\right) \overrightarrow{O C}\right)\right|<\dfrac{1}{2007}$．
于是，令 $p=\left(k_{2}-k_{1}\right) T, q=m\left(k_{2} T\right)-m\left(k_{1} T\right), r=n\left(k_{2} T\right)-n\left(k_{1} T\right)$，结合 $T$ 与 $m(kT), n(kT)$ 的单调性可知 $p、q、r$ 都是正整数．命题获证．