在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，其内切圆 $\odot I$ 切边 $BC、CA、AB$ 于点 $D、E,F,P$ 为弧 $EF$（不含点 $D$ 的弧）上一点．设线段 $BP$ 交 $\odot I$ 于另一点 $Q$，直线 $EP、EQ$ 分别交直线 $BC$ 于点 $M、N$ 证明：
（1）$P、F,B、M$ 四点共圆；
（2）$\dfrac{EM}{EN}=\dfrac{BD}{BP}$．
（1）$P、F,B、M$ 四点共圆；
（2）$\dfrac{EM}{EN}=\dfrac{BD}{BP}$．
【难度】
【出处】
2008年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）连接 $EF$，由条件可知 $EF\parallel BC$，故 $\begin{aligned} & \angle A B C=\angle A F E=\angle A F P+\angle P F E = \angle P E F+\angle P F E=180^{\circ}-\angle F P E \end{aligned}$．所以，$P,F,B,M$ 四点共圆．
（2）利用正弦定理，由 $EF\parallel BC$ 及 $P,F,B,M$ 四点共圆可知
$\begin{aligned} \frac{E M}{E N} &=\frac{\sin \angle E N M}{\sin \angle E M N} =\frac{\sin \angle F E N}{\sin (\pi-\angle P F B)} =\frac{\sin \angle F P B}{\sin \angle P F B}=\frac{B F}{B P} \end{aligned}$
结合 $BF=BD$ 即可知命题成立．
（2）利用正弦定理，由 $EF\parallel BC$ 及 $P,F,B,M$ 四点共圆可知
$\begin{aligned} \frac{E M}{E N} &=\frac{\sin \angle E N M}{\sin \angle E M N} =\frac{\sin \angle F E N}{\sin (\pi-\angle P F B)} =\frac{\sin \angle F P B}{\sin \angle P F B}=\frac{B F}{B P} \end{aligned}$
结合 $BF=BD$ 即可知命题成立．
答案
解析
备注
