如图
过圆外一点 $P$ 作圆的两条切线 $PA,PB,A,B$ 为切点，再过点 $P$ 作圆的一条割线分别交圆于 $C、D$ 两点，过切点 $B$ 作 $PA$ 的平行线分别交直线 $AC、AD$ 于 $E,F$．求证：$BE= BF$．
过圆外一点 $P$ 作圆的两条切线 $PA,PB,A,B$ 为切点，再过点 $P$ 作圆的一条割线分别交圆于 $C、D$ 两点，过切点 $B$ 作 $PA$ 的平行线分别交直线 $AC、AD$ 于 $E,F$．求证：$BE= BF$．【难度】
【出处】
2005年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
连 $BC、BA、BD$，则 $\angle A B C=\angle P A C=\angle E$．所以，$\triangle A B C \sim \triangle A E B$．从而 $\dfrac{B E}{B C}=\dfrac{A B}{A C}$，即 $B E=\dfrac{A B \cdot B C}{A C}$ ①
又 $\angle A B F=\angle P A B=\angle A D B$，所以 $\triangle A B F \sim \triangle A D B$，从而 $\dfrac{B F}{B D}=\dfrac{A B}{A D}$，即 $B F=\dfrac{A B \cdot B D}{A D}$ ②
另一方面，因为 $\triangle P B C \sim \triangle P D B, \triangle P C A \sim \triangle P A D$．所以 $\dfrac{B C}{B D}=\dfrac{P C}{P B}, \dfrac{A C}{A D}=\dfrac{P C}{P A}$．
而 $P A=P B$，所以 $\dfrac{B C}{B D}=\dfrac{A C}{A D}$ ③
于是 $\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{B D}{A D}$，故由 ①②③ 三式即知 $B E=B F$．
又 $\angle A B F=\angle P A B=\angle A D B$，所以 $\triangle A B F \sim \triangle A D B$，从而 $\dfrac{B F}{B D}=\dfrac{A B}{A D}$，即 $B F=\dfrac{A B \cdot B D}{A D}$ ②
另一方面，因为 $\triangle P B C \sim \triangle P D B, \triangle P C A \sim \triangle P A D$．所以 $\dfrac{B C}{B D}=\dfrac{P C}{P B}, \dfrac{A C}{A D}=\dfrac{P C}{P A}$．
而 $P A=P B$，所以 $\dfrac{B C}{B D}=\dfrac{A C}{A D}$ ③
于是 $\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{B D}{A D}$，故由 ①②③ 三式即知 $B E=B F$．
答案
解析
备注
