重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19820 5d01b148210b280220ed4334 高中 解答题 自招竞赛 设 $H$ 是锐角 $\triangle ABC$ 的垂心，由 $ A$ 向以 $ BC$ 为直径的圆作切线 $AP,AQ$，切点分别为 $ P,Q$．求证：$ P,H,Q$ 三点共线． 2022-04-17 19:03:54
19816 5d01bb54210b280220ed439b 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}, B C=1$．求 $\triangle ABC$ 的内解三角形（三顶点分别在三边上的三角形）的最长边的最小值． 2022-04-17 19:00:54
19811 5d03084c210b28021fc771d7 高中 解答题 自招竞赛 四边形 $ABCD$ 内接于圆，其边 $AB$ 与 $DC$ 的延长线交于点 $P$，$AD$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $Q$，由 $ Q$ 作该圆的两条切线 $QE$ 和 $QF$，切点分别为 $ E,F$．
求证：$P,E,F$ 三点共线．		 2022-04-17 19:56:53
19806 5d06f486210b280220ed45ef 高中 解答题 自招竞赛 设 $D$ 为锐角 $\triangle ABC$ 内部一点，且满足条件：$DA\cdot DB\cdot AB+ DB\cdot DC\cdot BC + DC\cdot DA\cdot CA = AB\cdot BC\cdot CA$．试确定点 $D$ 的几何位置，并证明你的结论． 2022-04-17 19:53:53
19800 5d0705e1210b28021fc772e8 高中 解答题 自招竞赛 在锐角 $\triangle ABC$ 中，$\angle C>\angle B$．点 $D$ 是边 $BC$ 上一 点，使得 $\angle ADB$ 是钝角，$H$ 是 $\triangle ABD$ 的垂心，点 $F$ 在 $ \triangle ABC $ 内部且 在 $ \triangle ABD $ 的外接圆周上．求证：点 $ F $ 是 $ \triangle ABC $ 垂心的充分必要条件是：$ HD $ 平行于 $ CF $ 且 $ H $ 在 $ \triangle ABC$ 的外接圆周上． 2022-04-17 19:49:53
19798 5d074068210b28021fc77389 高中 解答题 自招竞赛 设 $a, b, c$ 为 $\triangle ABC$ 的三条边，$a\leqslant b\leqslant c$，$R$ 和 $r$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外接圆半径和内切圆半径，令 $f=a+b-2 R-2 r$，试用 $\angle C$ 的大小来判定 $f$ 的符号． 2022-04-17 19:48:53
19789 5d0afa4b210b28021fc77472 高中 解答题 自招竞赛 给定 $a,\sqrt{2} < a < 2$．内接于单位圆 $\Gamma$ 的凸四边形 $ABCD$ 适合以下条件：
（1）圆心在这凸四边形内部；
（2）最大边长是 $ a$，最小边长是 $\sqrt{4-a^2}$．过点 $A,B,C,D$ 依次作圆 $\Gamma$ 的4条切线 $L_{A}, L_{B}, L_{C}, L_{D}$．已知 $L_{A}$ 与 $L_{B}$，$L_{B}$ 与 $L_{C}$，$L_{C}$ 与 $L_{D}$，$L_{D}$ 与 $L_{A}$ 分别交于点 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$．求面积之比 $\dfrac{S_{四边形A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}}{S_{四边形A B C D }}$ 的最大值与最小值．		 2022-04-17 19:43:53
19781 5d0b3980210b28021fc7751c 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$，$b< c$，$AD$ 是 $\angle A$ 的内角平分线，点 $D$ 在 $BC$ 上．
（1）求在线段 $AB,AC$ 内分别存在点 $E,F$（不是端点）满足 $BE=CF$ 和 $\angle BDE=\angle GDF$ 的充分必要条件（用 $\angle A,\angle B,\angle C$ 表示）；
（2）在点 $E$ 和 $F$ 存在情况下，用 $a,b,c$ 表示 $BE$ 的长．		 2022-04-17 19:39:53
19778 5d0b568e210b28021fc77585 高中 解答题 自招竞赛 对于平面上任意 4 个不同的点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$，求比值 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant4 }P_iP_j}{\min\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 4}P_iP_j}$ ① 的最小值． 2022-04-17 19:37:53
19774 5d0c877c210b280220ed4a25 高中 解答题 自招竞赛 设点 $ I,H$ 分别为锐角 $\triangle ABC $ 的内心和垂心，点 $ B_1,C_1$ 分别为边 $AC,AB$ 的中点．已知射线 $B_1I$ 交边 $ AB $ 于点 $B_2(B_2\ne B)$，射线 $ C_1I$ 交 $AC$ 的延长线于点 $C_2$，$ B_2C_2$ 与 $BC $ 相交于 $K$，$A_1$ 为 $\triangle BHC$ 的外心．试证：$A,I,A_1$ 三点共线的充分必要条件是 $\triangle BKB_2$ 和 $\triangle CKC_2$ 的面积相等． 2022-04-17 19:35:53
19771 5d103eea210b280220ed4b2c 高中 解答题 自招竞赛 凸四边形 $EFGH$ 的顶点 $E,F,G,H $ 分别在凸四边形 $ABCD$ 的边 $AB,BC,CD,DA$ 上，满足 $\dfrac{A E}{E B} \cdot \dfrac{B F}{F C} \cdot \dfrac{C G}{G D} \cdot \dfrac{D H}{H A}=1$ 而点 $A,B,C,D$ 分别在凸四边形 $E_{1} F_{1} G_{1} H_{1}$ 的边 $H_{1} E_{1}, E_{1} F_{1},F_{1} G_{1}, G_{1} H_{1}$ 上，满足 $E_{1} F_{1} \parallel E F, F_{1} G_{1} \parallel F G, G_{1} H_{1} \parallel G H,H_{1} E_{1} \parallel H E$．已知 $\dfrac{E_{1} A}{A H_{1}}=\lambda$，求 $\dfrac{F_{1} C}{C G_{1}}$ 的值． 2022-04-17 19:34:53
19767 5d10849c210b28021fc77732 高中 解答题 自招竞赛 一圆与 $\triangle ABC$ 的三边 $BC, CA,AB$ 的交点依次为 $D_1 ,D_2; E_1 ,E_2 ,F_1,F_2$．线段 $D_1E_1$ 与 $D_2F_2$ 交于点 $L$，线段 $E_1 F_1$ 与 $E_2D_2$ 交于点 $M$，线段 $F_1D_1 $ 与 $F_2E_2$ 交于点 $N$．证明：$AL,BM, CN$ 三线共点． 2022-04-17 19:32:53
19760 5d11c4d4210b28021fc777f0 高中 解答题 自招竞赛 在 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 中，$\angle ACB=90^\circ,\triangle ABC$，的内切圆 $O$ 分别于与 $BC, CA ,AB$ 相切于点 $D,E,F$，联结 $AD$，与内切圆 $O$ 相交于点 $P$．联结 $BP,CP$，若 $\angle B P C=90^{\circ}$，求证：$ AE +AP= PD$． 2022-04-17 19:28:53
19753 5d12e68b210b280220ed4e0a 高中 解答题 自招竞赛 设 $O$ 和 $I$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外心和内心，$\triangle ABC$ 的内切圆与边 $BC,CA,AB$ 分别相切于点 $D,E,F$，直线 $FD$ 与 $CA$ 相交于点 $P$ 直线，$DE$ 与 $AB$ 相交于点 $Q$，点 $M,N$ 分别为线段 $PE, QF$ 的中点，求证：$O I \perp M N$ 2022-04-17 19:23:53
19738 5d13423e210b280220ed4f1b 高中 解答题 自招竞赛 给定锐角 $\triangle P B C, P B \neq P C$．设 $A,D$ 分别是边 $PB,PC$ 上的点，联结 $ AC,BD$，相交于 $O$．过点 $O$ 分别作 $O E \perp A B, O F \perp CD$，垂足分别为 $ E,F$，线段 $BC,AD$ 的中点分别为 $ M,N$．
（1）若 $A,B,C,D$ 四点共圆，求证：$EM\cdot FN = EN\cdot FM$；
（2）若 $ EM\cdot FN = EN\cdot FM$，是否一定有 $ A,B,C,D$ 四点共圆？证明你的结论．		 2022-04-17 19:15:53
19726 5d0331a5210b280220ed451a 高中 解答题 自招竞赛 在一个非钝角 $\triangle ABC$ 中，$A B>A C, \angle B=45^{\circ}$，$O$ 和 $I$ 分别是 $\triangle ABC$ 的外心和内心，且 $\sqrt{2} O I=A B-A C$．求 $\sin A$． 2022-04-17 19:10:53
19722 5cf8e513210b280220ed40a1 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABCD$ 是一个梯形 $(AB\parallel CD)$，$E$ 是线段 $AB$ 上一点，$F$ 是线段 $CD$ 上一点，线段 $CE$ 与 $BF$ 相交于点 $H$，线段 $ED$ 与 $AF$ 相交于点 $G$．
求证：$S_{EHFG}\geqslant\dfrac{1}{4}S_{ABCD}$．
如果 $ABCD$ 是一个任意凸四边形，同样结论是否成立？请说明理由．		 2022-04-17 19:09:53
19721 5cfe0a29210b28021fc76fb5 高中 解答题 自招竞赛 设 $M$ 为平面上坐标为 $(p \times 1994,7 p \times 1994)$ 的点，其中 $p$ 是素数．求满足下述条件的直角三角形的个数：
（1）三角形的三个顶点都是整点，而且 $M$ 是直角顶点；
（2）三角形的内心是坐标原．		 2022-04-17 19:09:53
19720 5cf89a75210b28021fc76e7a 高中 解答题 自招竞赛 凸四边形 $ABCD$ 内接于圆 $O$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于 $P$．$\triangle A B P, \triangle C D P$ 的外接圆相交于 $P$ 和另一点 $Q$，且 $O,P,Q$ 三点两两不重合．试证：$\angle O Q P=90^{\circ}$． 2022-04-17 19:09:53
19717 5cf5dde3210b280220ed3df6 高中 解答题 自招竞赛 平面上有一个凸四边形 $A B C D$．
（1）如果平面上存在一点 $P$，使得 $\triangle A B P, \triangle B C P, \triangle C D P$ 和 $\triangle D A P$ 的面积都相等，问四边形 $ABCD$ 要满足什么条件？
（2）满足（1）的点 $P$，平面上最多有几个？证明你的结论．		 2022-04-17 19:08:53
0.180712s