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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18097 5c88913f210b286d125ef18a 高中 解答题 自招竞赛 证明：一正四面体的外接球球心到它的各顶点的距离之和，小于其他任一点到正四面体各顶点的距离之和．（保加利亚） 2022-04-17 19:20:38
18096 5c889150210b286d07454030 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 的三边 $AB,BC$ 与 $CA$ 上分别取点 $M,K,L $（不与 $\triangle ABC$ 的顶点重合）．求证：$\triangle MAL,\triangle KBM,\triangle LCK $ 中至少有一个的面积不大于 $\triangle ABC$ 面积的 $\dfrac{1}{4}$．（波兰） 2022-04-17 19:20:38
18089 5c889564210b286d0745403f 高中 解答题 自招竞赛 一四面体 $ABCD$ 被平行于 $AB,CD$ 的平面分成两部分，已知 $AB$ 到此平面的距离与 $CD$ 到平面的距离之比等于 $k$，求四面体 $ABCD$ 被分成这两部分的体积之比．（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:16:38
18087 5c88956e210b286d125ef1af 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle OAB$ 中，已知 $\angle AOB$ 是锐角，从 $\triangle AOB$ 内或边上任一点 $M$（不与 $O$ 点重合），作 $MP\perp OA,MQ\perp OB$，垂足分别为 $P,Q$．$H$ 是 $\triangle OPQ$ 的垂心，分别求下列两种情况下 $H$ 的轨迹：
（$a$）当动点 $M$ 在线段 $AB$ 上运动时；
（$b$）当动点 $M$ 在 $\triangle OAB$ 的内部运动时．（罗马尼亚）		 2022-04-17 19:15:38
18080 5c889c74210b286d07454065 高中 解答题 自招竞赛 已知一个四面体 $ABCD$，联结顶点 $D$ 与底面 $\triangle ABC$ 的重心 ${D}_{1}$，过 $\triangle ABC$ 的各顶点 作 $D{D}_{1}$ 的平行线，分别与对面相交于 ${A}_{1}、{B}_{1}、{C}_{1}$ 三点．求证：四面体 $ABCD$ 的体积是四面体 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 体积的三分之一，又如点 ${D}_{1}$ 是 $\triangle ABC $ 内任一点，结论是否成立？（波兰） 2022-04-17 19:11:38
18079 5c889c5e210b286d07454055 高中 解答题 自招竞赛 在三边长分别为 $a、b、c$ 的 $\triangle ABC$ 内作内切圆，并作此圆的三条切线，它们分别平行于已知三角形的三边，这三条切线与已知三角形相截，得三个新的三角形，再分别作这三个三角形的内切圆，求所作出的四个圆的面积之和．（南斯拉夫） 2022-04-17 19:10:38
18072 5c88a0e9210b286d125ef1d4 高中 解答题 自招竞赛 已知凸 $n$ 边形的各角都都相等，并且顺次各边满足关系：${a}_{1}\geqslant {a}_{2}\geqslant \cdots\geqslant{a}_{n}$．求证：${a}_{1}={a}_{2}=\cdots={a}_{n}$．（匈牙利） 2022-04-17 19:05:38
18071 5c88a0e5210b286d07454077 高中 解答题 自招竞赛 在空间中已知一直角的一边通过一已知点 $A$，而另一边与已知线段 $BC$ 至少有一公共点，求该直角顶点的轨迹．（苏联） 2022-04-17 19:05:38
18066 5c88a36f210b286d07454086 高中 解答题 自招竞赛 已知一个正方体 $ABCD-A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$．点 $X$ 沿正方形 $ABCD$ 沿 $ABCDA$ 的方向作匀速运动，点 $Y$ 沿正方形 $B^\prime C^\prime CBB^\prime $ 的方向以同样的速度作匀速运动．点 $X$ 与 $Y$ 分别从 $A$ 与 $B^\prime$ 同时出发，求线段 $XY$ 中点的轨迹．（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:02:38
18064 5c88a37c210b286d0745408c 高中 解答题 自招竞赛 设 $A、B、C$ 为圆周 $K$ 上的三个已知点，试用尺规作图求出圆周上第四点 $D$，使四边形 $ABCD$ 存在内切圆。（保加利亚） 2022-04-17 19:01:38
18063 5c88a382210b286d125ef1fd 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，$R$ 是其外接圆半径，$r$ 是它的内切圆半径．求证：这两圆心之间的距离为 $d=\sqrt{R(R-2r)}$．（民主德国） 2022-04-17 19:00:38
18062 5c88a388210b286d07454092 高中 解答题 自招竞赛 已知一个四面体 $SABC$，存在 $5$ 个球，与四面体的所有棱 $SA,SB,SC,AB,BC,CA$ 或其延长线相切．求证：
（$a$）四面体 $SABC$ 是正四面体；
（$b$）反之，每个正四面体必定存在 $5$ 个这样的球．（苏联）		 2022-04-17 19:00:38
18058 5c88ab24210b286d074540a9 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle {P}_{1}{P}_{2}{P}_{3}$ 及三角形内任一点 $P$，直线 ${P}_{1}P,{P}_{2}P,{P}_{3}P$ 分别与交对边于 ${Q}_{1},{Q}_{2},{Q}_{3}$．求证：在 $\dfrac{{{P}_{1}}P}{P{{Q}_{1}}},\dfrac{{{P}_{2}}P}{P{{Q}_{2}}},\dfrac{{{P}_{3}}P}{P{{Q}_{3}}}$ 这三个比值中，至少有一个不大于 $2$，也至少有一个不小于 $2$．（民主德国） 2022-04-17 19:57:37
18057 5c88ab29210b286d125ef210 高中 解答题 自招竞赛 求作 $\triangle ABC$ 使 $AC=b,AB=c,\angle AMB=\alpha<90^\circ$，这里 $M$ 是 $BC$ 的中点，并由此证明：当且仅当 $b\tan \dfrac{\alpha}{2}\leqslant c<b$ 时，本题有解．又在什么情况下等号成立？（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:57:37
18056 5c88ab2e210b286d125ef215 高中 解答题 自招竞赛 已知一平面 $E$ 的同一侧有不在一直线上三点 $A,B,C$，并且过 $A,B,C$ 三点的平面与平面 $E$ 不平行．在平面 $E$ 上任取三点 $A^\prime,B^\prime,C^\prime$．点 $L,M,N$ 分别是线段 $AA^\prime,BB^\prime,CC^\prime$ 的中点，$O$ 是 $\triangle LMN$ 的重心（不包括三点不构成三角形的情形）．求当 $A^\prime,B^\prime,C^\prime$ 在平面 $E$ 上任意变动时 $O$ 的轨迹．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:56:37
18052 5c88ae01210b286d125ef22b 高中 解答题 自招竞赛 已知直角三角形 $ABC$，将斜边 $BC$ $n$ 等分，$n$ 是奇数．设含有斜边中点的那段对于 $A$ 所成的张角为 $\alpha$，$\triangle ABC$ 斜边 $BC=a$，斜边上的高为 $h$．求证：$\tan \alpha =\dfrac{4nh}{\left( {{n}^{2}}-1 \right)a}$．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:54:37
18051 5c88ae08210b286d125ef231 高中 解答题 自招竞赛 已知三条线段长分别为 $h_a、h_b$ 和 $m_a$，求作 $\triangle ABC$，使 $BC,AC$ 边上的高分别为 $h_a,h_b,BC$ 边上的中线为 ${m}_{a}$．（匈牙利） 2022-04-17 19:54:37
18050 5c88ae0e210b286d125ef236 高中 解答题 自招竞赛 已知一正方体 $ABCD-A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime $，
（$a$）设 $X,Y$ 分别是线段 $AC$ 与 $B^\prime D^\prime $ 上任一点，求线段 $XY$ 中点之轨迹．
（$b$）求在线段 $XY$ 上且满足关系 $ZY=2XZ$ 的点 $Z$ 的轨迹．（捷克斯洛伐克）		 2022-04-17 19:53:37
18049 5c88ae16210b286d125ef23b 高中 解答题 自招竞赛 已知一圆锥及其内切球．这个球有一外切圆柱，该圆柱的一个底面在圆锥的底面上，设圆锥的体积为 ${V}_{1}$，，圆柱的体积为 ${V}_{2}$．
（$a$）求证：等式 ${V}_{1}={V}_{2}$ 不可能成立；
（$b$）求 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的最小值，并在此情况下作出圆锥顶角的一半．（民主德国）		 2022-04-17 19:52:37
18048 5c88ae1c210b286d125ef241 高中 解答题 自招竞赛 已知一等腰梯形，它的两底和高分别为 $a,b$ 和 $h$．
（$a$）在梯形的对称轴上求作一点 $P$，使这点对梯形的腰所张的视角为直角．
（$b$）求 $P$ 点到梯形两底边的距离．
（$c$）在什么条件下，点 $P$ 能够作出（即讨论点 $P$ 在什么情况下存在）．（保加利亚）		 2022-04-17 19:51:37
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