已知一圆锥及其内切球．这个球有一外切圆柱，该圆柱的一个底面在圆锥的底面上，设圆锥的体积为 ${V}_{1}$，，圆柱的体积为 ${V}_{2}$．
（$a$）求证：等式 ${V}_{1}={V}_{2}$ 不可能成立；
（$b$）求 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的最小值，并在此情况下作出圆锥顶角的一半．（民主德国）
（$a$）求证：等式 ${V}_{1}={V}_{2}$ 不可能成立；
（$b$）求 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的最小值，并在此情况下作出圆锥顶角的一半．（民主德国）
【难度】
【出处】
1960年第02届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（$a$）轴截面如图，设球半径为 $R$，锥底面半径为 $r$，高为 $h$．易知 $h>2R$．
又设圆锥顶角的一半为 $\theta$，则易知 $\dfrac{R}{h-R}=\dfrac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}=\sin\theta$．
于是，$h=\dfrac{1+\sin\theta}{\sin\theta}R,r=h\tan\theta=\dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta}R$．
令 $t=\dfrac{1-\sin\theta}{\sin\theta}>0,\sin\theta=\dfrac{1}{1+t}$，则
$\begin{aligned}
V_1&=\dfrac{1}{3}\pi r^2h\\
&=\dfrac{1}{3}\pi\dfrac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}R^2\cdot\dfrac{1+\sin\theta}{\sin\theta}R\\
&=\dfrac{1}{3}\pi R^3\dfrac{(1+\sin\theta)^2}{\sin\theta(1-\sin\theta)}\\
&=\dfrac{1}{3}\pi R^3\dfrac{\left(1+\frac{1}{1+t}\right)^2}{\frac{1}{1+t}\cdot \frac{t}{1+t}}\\
&=\dfrac{1}{3}\pi R^3\dfrac{(2+t)^2}{t}\\
&=\dfrac{1}{3}\pi R^3\left(t+\dfrac{4}{t}+4\right)\\
&\geqslant\dfrac{1}{3}\pi R^3\left(2\sqrt{t\cdot\dfrac{4}{t}}+4\right)\\
&=\dfrac{8}{3}\pi R^3
\end{aligned}$
而 $V_2=2\pi R^3$，所以 $V_1\ne V_2$．
（$b$）由（$a$）知 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的最小值为 $\dfrac{4}{3}$，此时 $t=\dfrac{4}{t}$，即 $\sin\theta=\dfrac{1}{3},\theta=\arcsin\dfrac{1}{3}$，由此不难作出 $\theta$．
又设圆锥顶角的一半为 $\theta$，则易知 $\dfrac{R}{h-R}=\dfrac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}=\sin\theta$．于是，$h=\dfrac{1+\sin\theta}{\sin\theta}R,r=h\tan\theta=\dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta}R$．
令 $t=\dfrac{1-\sin\theta}{\sin\theta}>0,\sin\theta=\dfrac{1}{1+t}$，则
$\begin{aligned}
V_1&=\dfrac{1}{3}\pi r^2h\\
&=\dfrac{1}{3}\pi\dfrac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}R^2\cdot\dfrac{1+\sin\theta}{\sin\theta}R\\
&=\dfrac{1}{3}\pi R^3\dfrac{(1+\sin\theta)^2}{\sin\theta(1-\sin\theta)}\\
&=\dfrac{1}{3}\pi R^3\dfrac{\left(1+\frac{1}{1+t}\right)^2}{\frac{1}{1+t}\cdot \frac{t}{1+t}}\\
&=\dfrac{1}{3}\pi R^3\dfrac{(2+t)^2}{t}\\
&=\dfrac{1}{3}\pi R^3\left(t+\dfrac{4}{t}+4\right)\\
&\geqslant\dfrac{1}{3}\pi R^3\left(2\sqrt{t\cdot\dfrac{4}{t}}+4\right)\\
&=\dfrac{8}{3}\pi R^3
\end{aligned}$
而 $V_2=2\pi R^3$，所以 $V_1\ne V_2$．
（$b$）由（$a$）知 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的最小值为 $\dfrac{4}{3}$，此时 $t=\dfrac{4}{t}$，即 $\sin\theta=\dfrac{1}{3},\theta=\arcsin\dfrac{1}{3}$，由此不难作出 $\theta$．
答案
解析
备注
