已知一正方体 $ABCD-A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime $，
（$a$）设 $X,Y$ 分别是线段 $AC$ 与 $B^\prime D^\prime $ 上任一点，求线段 $XY$ 中点之轨迹．
（$b$）求在线段 $XY$ 上且满足关系 $ZY=2XZ$ 的点 $Z$ 的轨迹．（捷克斯洛伐克）
（$a$）设 $X,Y$ 分别是线段 $AC$ 与 $B^\prime D^\prime $ 上任一点，求线段 $XY$ 中点之轨迹．
（$b$）求在线段 $XY$ 上且满足关系 $ZY=2XZ$ 的点 $Z$ 的轨迹．（捷克斯洛伐克）
【难度】
【出处】
1960年第02届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（$a$）如图，作平面 $\alpha\parallel$ 平面 $ABC$，且距离为 $\dfrac{1}{2}AA^\prime$，则平面 $\alpha$ 在四面体 $ACB^\prime D^\prime$ 内的那一部分，也就是正方形 $EFGH$ 及其内部即为所求轨迹，其中 $E,F,G,H$ 为四个侧面的中心．
由于 $X,Y$ 均在四面体 $ACB^\prime D^\prime$ 的表面，$XY$ 必穿过其"中截面" $EFGH$，其交点 $Z$ 就是 $XY$ 之中点，完备性得证．
纯粹性：设 $Z$ 为正方形 $EFGH$ 内或其边上任一点，作平面 $D^\prime B^\prime Z$ 交 $AC$ 于 $X$，再过 $X,Z$ 作直线交 $D^\prime B^\prime $ 于 $Y$，由 $EFGH$ 的位置即知：$Z$ 为 $XY$ 的中点．
（$b$）同上，作平面 $\beta\parallel $ 平面 $ABC$，且距离为 $\dfrac{1}{3}AA^\prime$，则平面 $\beta$ 在四面体 $ACB^\prime D^\prime$ 内的那一部分，即矩形 $E^\prime F^\prime G^\prime H^\prime$ 及内部即为所求，其中 $E^\prime, F^\prime, G^\prime, H^\prime$ 分别为 $AB^\prime,CB^\prime,CD^\prime ,AD^\prime$ 的三等分点．
由于 $X,Y$ 均在四面体 $ACB^\prime D^\prime$ 的表面，$XY$ 必穿过其"中截面" $EFGH$，其交点 $Z$ 就是 $XY$ 之中点，完备性得证．纯粹性：设 $Z$ 为正方形 $EFGH$ 内或其边上任一点，作平面 $D^\prime B^\prime Z$ 交 $AC$ 于 $X$，再过 $X,Z$ 作直线交 $D^\prime B^\prime $ 于 $Y$，由 $EFGH$ 的位置即知：$Z$ 为 $XY$ 的中点．
（$b$）同上，作平面 $\beta\parallel $ 平面 $ABC$，且距离为 $\dfrac{1}{3}AA^\prime$，则平面 $\beta$ 在四面体 $ACB^\prime D^\prime$ 内的那一部分，即矩形 $E^\prime F^\prime G^\prime H^\prime$ 及内部即为所求，其中 $E^\prime, F^\prime, G^\prime, H^\prime$ 分别为 $AB^\prime,CB^\prime,CD^\prime ,AD^\prime$ 的三等分点．
答案
解析
备注
