已知一平面 $E$ 的同一侧有不在一直线上三点 $A,B,C$，并且过 $A,B,C$ 三点的平面与平面 $E$ 不平行．在平面 $E$ 上任取三点 $A^\prime,B^\prime,C^\prime$．点 $L,M,N$ 分别是线段 $AA^\prime,BB^\prime,CC^\prime$ 的中点，$O$ 是 $\triangle LMN$ 的重心（不包括三点不构成三角形的情形）．求当 $A^\prime,B^\prime,C^\prime$ 在平面 $E$ 上任意变动时 $O$ 的轨迹．（罗马尼亚）
【难度】
【出处】
1961年第03届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
将这些点都放入空间 $xyz$ 坐标系，并使 $E$ 为 $z=0$，$A,B,C$ 则在上半空间 $z>0$．
易知两点 $X=(x_1,x_2,x_3)$ 和 $Y=(y_1,y_2,y_3)$ 的中点为 $\dfrac{X+Y}{2}=\left(\dfrac{x_1+y_1}{2},\dfrac{x_2+y_2}{2},\dfrac{x_3+y_3}{2}\right)$，而 $\triangle XYZ$ 的重心则为 $\dfrac{X+Y+Z}{2}$．
因此，线段 $AA^\prime,BB^\prime,CC^\prime$ 的中点满足：$L=\dfrac{1}{2}(A+A^\prime),M=\dfrac{1}{2}(B+B^\prime),N=\dfrac{1}{2}(C+C^\prime)$，从而 $\triangle LMN$ 的重心 $O$ 满足
$\begin{aligned}
O&=\dfrac{1}{3}(L+M+N)\\
&=\dfrac{1}{6}(A+A^\prime+B+B^\prime+C+C^\prime)\\
&=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{3}(A+B+C)+\dfrac{1}{3}(A^\prime+B^\prime+C^\prime)\right]\\
&=\dfrac{1}{2}(G+G^\prime)
\end{aligned}$
其中 $G,G^\prime$ 分别为 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$ 之重心，易见 $O$ 在平面 $z=\dfrac{1}{6}(a_3+b_3+c_3)$ 内（其中 $a_3,b_3,c_3$ 是 $A,B,C$ 的 $z$ 轴上的坐标），这个平面平行于 $z=0$ 且距 $z=0$ 的距离为 $G$ 到 $z=0$ 的一半．
反之，任取 $z=\dfrac{1}{6}(a_3+b_3+c_3)$ 内一点 $O$，延长 $GO$ 与 $z=0$ 交于 $G^\prime$，在 $z=0$ 上随意找三点 $A^\prime,B^\prime,C^\prime$，使 $G^\prime$ 为 $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$ 之重心，又设 $AA^\prime,BB^\prime,CC^\prime$ 的中点分别为 $L,M,N$，由前面的计算知：$O$ 为 $\triangle LMN$ 之重心．
于是，轨迹便是如上所述的平面，满足：它平行于 $E$，至 $E$ 的距离为 $\triangle ABC$ 重心 $G$ 至 $E$ 距离之半，且与 $G$ 在 $E$ 同侧．
易知两点 $X=(x_1,x_2,x_3)$ 和 $Y=(y_1,y_2,y_3)$ 的中点为 $\dfrac{X+Y}{2}=\left(\dfrac{x_1+y_1}{2},\dfrac{x_2+y_2}{2},\dfrac{x_3+y_3}{2}\right)$，而 $\triangle XYZ$ 的重心则为 $\dfrac{X+Y+Z}{2}$．
因此，线段 $AA^\prime,BB^\prime,CC^\prime$ 的中点满足：$L=\dfrac{1}{2}(A+A^\prime),M=\dfrac{1}{2}(B+B^\prime),N=\dfrac{1}{2}(C+C^\prime)$，从而 $\triangle LMN$ 的重心 $O$ 满足
$\begin{aligned}
O&=\dfrac{1}{3}(L+M+N)\\
&=\dfrac{1}{6}(A+A^\prime+B+B^\prime+C+C^\prime)\\
&=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{3}(A+B+C)+\dfrac{1}{3}(A^\prime+B^\prime+C^\prime)\right]\\
&=\dfrac{1}{2}(G+G^\prime)
\end{aligned}$
其中 $G,G^\prime$ 分别为 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$ 之重心，易见 $O$ 在平面 $z=\dfrac{1}{6}(a_3+b_3+c_3)$ 内（其中 $a_3,b_3,c_3$ 是 $A,B,C$ 的 $z$ 轴上的坐标），这个平面平行于 $z=0$ 且距 $z=0$ 的距离为 $G$ 到 $z=0$ 的一半．
反之，任取 $z=\dfrac{1}{6}(a_3+b_3+c_3)$ 内一点 $O$，延长 $GO$ 与 $z=0$ 交于 $G^\prime$，在 $z=0$ 上随意找三点 $A^\prime,B^\prime,C^\prime$，使 $G^\prime$ 为 $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$ 之重心，又设 $AA^\prime,BB^\prime,CC^\prime$ 的中点分别为 $L,M,N$，由前面的计算知：$O$ 为 $\triangle LMN$ 之重心．
于是，轨迹便是如上所述的平面，满足：它平行于 $E$，至 $E$ 的距离为 $\triangle ABC$ 重心 $G$ 至 $E$ 距离之半，且与 $G$ 在 $E$ 同侧．
答案
解析
备注
