一四面体 $ABCD$ 被平行于 $AB,CD$ 的平面分成两部分，已知 $AB$ 到此平面的距离与 $CD$ 到平面的距离之比等于 $k$，求四面体 $ABCD$ 被分成这两部分的体积之比．（捷克斯洛伐克）
【难度】
【出处】
1965年第07届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设平行于 $AB,CD$ 的平面为 $\alpha$，交四面体于一平行四边形 $PQRS,PQ\parallel SR\parallel CD,QR\parallel PS\parallel AB$，如图所示．
拟柱体 $ABRSPQ$ 的平行于面 $PQRS$ 的中截面两邻边之长分别为 $\left(1+\dfrac{k}{2}\right)RQ,\dfrac{1}{2}PQ$，这一点用平行线比例性质极易得出，因此其面积 $M_1=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{k}{2}\right)S_{平行四边形PQRS}$．
同理，拟柱体 $PQRCDS$ 的平行于面 $PQRS$ 的中截面之面积 $=\dfrac{1}{2}\dfrac{2k+1}{2k}S_{平行四边形PQRS}$．
利用拟柱体的体积公式及条件，易知上述两立体的体积之比为
$\begin{aligned}
&k(S_{平行四边形PQRS}+4M_1):(S_{平行四边形PQRS}+4M_2)\\
&=\dfrac{k(1+k+2)}{1+2\dfrac{2k+1}{2k}}\\
&=\dfrac{k^2(k+3)}{3k+1}
\end{aligned}$
拟柱体 $ABRSPQ$ 的平行于面 $PQRS$ 的中截面两邻边之长分别为 $\left(1+\dfrac{k}{2}\right)RQ,\dfrac{1}{2}PQ$，这一点用平行线比例性质极易得出，因此其面积 $M_1=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{k}{2}\right)S_{平行四边形PQRS}$．同理，拟柱体 $PQRCDS$ 的平行于面 $PQRS$ 的中截面之面积 $=\dfrac{1}{2}\dfrac{2k+1}{2k}S_{平行四边形PQRS}$．
利用拟柱体的体积公式及条件，易知上述两立体的体积之比为
$\begin{aligned}
&k(S_{平行四边形PQRS}+4M_1):(S_{平行四边形PQRS}+4M_2)\\
&=\dfrac{k(1+k+2)}{1+2\dfrac{2k+1}{2k}}\\
&=\dfrac{k^2(k+3)}{3k+1}
\end{aligned}$
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